Ways of thinking - Ways of understanding

Jyväskylän yliopistolla on tällä viikolla menossa joka toinen vuosi eri puolilla maailmaa järjestettävä matematiikan opetuksen tutkimuksen YERME-konferenssi. Kävin juuri kuuntelemassa Guershon Harelin luennon aiheesta DNR-based instruction in mathematics (tosin toistaiseksi lyhenteen DNR merkitys on minulle epäselvä).

Harel viittasi mm. tutkimukseensa aiheisiin "proofs, a way of understanding" ja "proof schemes, a way of thinking" liittyen. Tutkimuksissaan hän on pyrkinyt ymmärtämään niitä ajatusratoja ja päättelytapoja, joita opiskelijat todistuksia tehdessään käyttävät; miksi he toimivat niinkuin toimivat.

Esimerkki

Harelin käyttämät termit result pattern generalization (RPG) vastaan process pattern generalization (PPG) pyrkivät nimeämään ilmiön, jonka opettajana usein kohtaa. Esimerkiksi jos kysytään, onko seuraavalla jonolla

sqrt(2), sqrt[2 + sqrt(2)], sqrt[2 + sqrt(2 + sqrt(2))], ...

pienintä ylärajaa, olisi RPG-lähestymistapa todeta, että sqrt(2) = 1.41 < 2, sqrt[2 + sqrt(2)] = 1.84 < 2 ja niin edelleen, joten jonon jäsenet ovat alle 2, missä yhtäsuuruusmerkit tarkoittavat "on likimain yhtäsuuri".

Vastaava PPG-lähestymistapa voisi olla: sqrt(2) < 2, joten on oltava 2 + sqrt(2) < 4 ja siis sqrt[2 + sqrt(2)] < 2. Samaa päättelyä voidaan jatkaa loputtomiin.

Erilaisten ratkaisujen esittämisestä luokassa

Harel totesi jotenkin tähän tyyliin:

It's beneficial for students to see solutions and proofs by others [in classroom] and discuss the solutions presented. This will help them to star to see that some proofs are more believable/convincing than others.

Esimerkillä vs. vastaesimerkillä todistamisesta

Harel totesi, että oppilaiden on yleensä vaikea ymmärtää miksi vastaesimerkki todistaa mitään kun heille on ensin opetettu, ettei [suorien] esimerkkien antaminen riitä todistukseksi. Oppilaat kuulemma mieltävät vastaesimerkin vain poikkeukseksi, joka ei kumoa alkuperäistä [virheellistä] väitettä. Myös käänteiset suorat todistukset ovat vaikeita ymmärtää.

Painotus matematiikan tunneilla

Harelin mukaan matematiikan tunneilla keskitytään yleisesti ottaen liikaa matemaattisten temppujen opetteluun kuin ajattelutaitojen kehittämiseen. Miksi esimerkiksi oppilaiden pitäisi oppia laskemaan kynällä ja paperilla kun homman voi hoitaa laskimella? Avainsana on termin algebraic invariance ymmärtäminen: "changing the form without changing the value [of the solution]". Toisin sanoen, esimerkiksi yhtälön sieventämisessä tai siinä miksi laskulla 0.14/12.91 on sama tulos kuin laskulla 14/1291 edellämainittu ymmärrys on oleellista...eikä ymmärrys kehity laskinta käyttämällä. (Tällä ei haluta sanoa, että teknologia on pahasta, ei tietenkään.)

Yhteenveto

Luento oli erittäin mielenkiintoinen eikä tämä kirjoitus tee sille oikeutta...vois lukea aiheesta lisää :)

Viitteitä

• Harel: What is Mathematics? (PDF)
• Harelin nettisivu, josta löytyy hänen julkaisujaan PDF-tiedostoina.
• YERME 2006:n kotisivu, jonka Lectures-osiosta löytyy lisämateriaalia.
• Harel: Advanced Mathematical Thinking (PDF)
• Harel: DNR (PDF)