Jos polynomilla on kaksoisjuuri, on sillä samassa kohdassa myös derivaatan nollakohta

Tiistaina numeerisen matikan kurssilla (MAA12) eräs opiskelija oli yhtä tehtävää ratkaistessaan huomaamattaan olettanut, että kun polynomilla on kaksoisjuuri pisteessä a, on sillä myös derivaatan nollakohta samaisessa pisteessä. Huomasin asian ja kysyin oliko opiskelija miettinyt läpi onko asia todella näin. Totesi, että ei tajunnut edes miettiä asiaa, vastaust tuli kuitenkin oikein. Kehotin yrittämään todistaa kyseisen tuloksen ja lupasin itse yrittää samaa.

Mietin todistusta eilen ja keksinkin sen. Tässä siis kyseinen tulos:

Lause ja sen todistus

Olkoon P(x) n:nnen asteen polynomi siten, että sillä on kaksoisjuuri x = t, ts. P(x) on jaollinen 2.asteen polynomilla (x-t)².

Väite: P'(t) = 0

Todistus: Olkoon f(x) = (x-t)², jolloin f(t) = (t-t)² = 0. Olkoon lisäksi g(x) sellainen n-2 asteen polynomi, että P(x) = f(x)·g(x). Polynomin P(x) jaollisuuden nojalla tällainen polynomi g(x) on olemassa. Koska g on polynomi, on se kaikkialla derivoituva ja siis sen derivaattafunktio g' on olemassa.

Funktion f derivaatta on f'(x) = 2(x-t) ja edelleen f'(t) = 2(t-t) = 0. Nyt tulon derivointikaavan

          D(fg) = f'g + fg'

mukaan saadaan, että

          P'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

ja näin ollen

          P'(t) = f'(t)·g(t) + f(t)·g'(t)
                = 0·g(t) + 0·g'(t)
                = 0,

mikä todistaa väitteen kaikilla n ≥ 2.