ABACUS International Math Challenge

Ollessani GGIS:llä Budapestissa töissä lukuvuoden 2002-2003, opetin mm. alakoulun neljäsluokkalaisille matematiikkaa. Koulun lukion matematiikan opettaja mainitsi ABACUS International Math Challenge -kilpailusta, johon sitten innostin yhtä intialaista matematiikasta innostunutta 4. luokan oppilastani osallistumaan. Raghav osallistui ja tuli lopulta kilpailun 13. sijalle (koulun nimi oli tuolloin GGCA).

Mikä on ABACUS International Math Challenge?

Kyseessä on new yorkilaisen Grace Church Schoolin järjestämä kansainvälinen, kaikille koululaisille avoin matematiikkakilpailu, jota sponsoroi mm. NASA. Puolisen vuotta, syyskuusta alkukevääseen, kesätävässä kilpailussa jokaisen kuukauden alussa kilpailun sivustolla julkaistaan kahdeksan uutta pulmatehtävätyylistä tehtävää, joiden ratkaisemiseen on sitten kuukausi aikaa. Oppilas (tai opettaja oppilaan puolesta) lähettää ratkaisunsa sähköpostitse tarkastajalle. Järjestäjät ylläpitävät kilpailusivustolla "sarjataulukkoa", josta näkee kunkin osallistujan kuukausittaiset pisteet, pistesumma ja sen hetkinen sijoitus kuluvassa kilpailussa. Kilpailussa on kolme sarjaa, 3.-4.luokkalaiset, 5.-6.luokkalaiset ja 7.-8.luokkalaiset.

Kilpailutehtävistä

Tehtävät ovat yleensä hyvin erityyppisiä kuin perinteiset oppikirjatehtävät. Esimerkki:

C.579: The phone numbers in New York are 7-digit numbers. They may start with any digit but zero. How many phone numbers have strictly increasing digits from left to right?

Sarjan, johon tehtävä kuuluu, tunnistaa helposti tehtävänumeron ensimmäisestä kirjaimesta, A = 3.-4.luokka, jne. Edellisen esimerkin tehtävä oli numeroltaan 579...myös tehtävät 1-578 löytyvät sivuston tehtäväarkistosta! Järjestäjät arkistoivat kaikki aiempien vuosien tehtävät ja niitä pääsee vapaasti selaamaan!

Mikäli johonkin em. ikäryhmään kuuluvassa opetusryhmässäsi on matematiikasta kovasti kiinnostuneita oppilaita, saattaa tällainen kilpailu motivoida oppilaita entisestään. Toisaalta, olen itse käyttänyt tehtäviä myös oppituntien piristyksenä/lisätehtävinä (vastaavaa kilpailukohderyhmää vanhemmilla oppilailla luonnollisesti).

Suosittelen vähintään vilkaisemaan sivustoa :)

Tehtäviä sadepäivän varalle

1. Shakki-laudan nurkasta toiseen

Onko mahdollista kulkea 8x8-ruudukon jokaisen ruudun kautta täsmälleen kerran ja päätyä lopulta ruudukon oikeaan yläkulmaan, jos lähdetään liikkeelle vasemmasta alakulmasta ja kustakin ruudusta saa siirtyä vain samalla vaakarivillä tai samalla pystyrivillä sijaitsevaan naapuriruutuun?

1.1. Lisätehtäviä/-kysymyksiä

• Mikäli ruudukko muutettaisiin 7x7-ruudukoksi, onnistuisiko tehtävä tällöin?
• Minkä kokoinen ruudukon tulee yleisesti ottaen olla, jotta tehtävä onnistuu? Tai kääntäen, minkä kokoisilla ruudukoilla tehtävä ei onnistu?

2. Kolme maalattua pistettä

Mies tulee lueksesi ja tarjoaa sinulle mahdollisuutta tulla nimetyksi yhdeksi maailman Kolmesta viisaimmasta miehestä. Sinä, tietysti, suostut ja hän vie sinut metsään, jossa on kaksi muuta ihmistä. Ihmiset ovat sidottu kiinni tuoleihin ja tuolit edelleen sidottu kiinni puihin. Sinä istut omaan tuoliisi ja sinut sidotaan kiinni samalla tavalla. Te istutte kukin kolmion kulmissa siten, että te kaikki näette toisenne. Seuraavaksi mies sitoo teidän kaikkien silmät.

"Maalaan nyt joko punaisen tai vihreän pisteen, teidän jokaisen päänne yläpuolelle. Jos näette vähintään yhden vihreän pisteen, niin nostakaa kätenne ylös. Teidän on arvattava, minkä värinen piste pääänne yläpuolella on. Jos arvaatte oikein saatte tittelin maailman älykkäimpänä ihmisenä, mutta arvatessanne väärin jätän teidät metsään - puuhun sidottuna."

Mies maalaa pisteen teidän kunkin pään yläpuolelle ja aukaisee siteet. Näet vihreät pisteet molempien päiden yläpuolella ja nostat kätesi. Myös toiset nostavat kätensä eli hekin näkevät vähintään yhden vihreän pisteen.

Pitkän hiljaisuuden jälkeen tokaiset: "Minä tiedän, minkä värinen piste pääni yläpuolella on."

Minkä värinen pääsi yläpuolella oleva piste on ja mistä voit päätellä pisteen värin?

3. Kolme miestä, viisi hattua

(Huom! Tämä tehtävä on variaatio neljän ihmisen ja kahden mustan ja kahden valkoisen hatun tehtävästä)

Olet kävelemässä metsässä, kunnes putoat suureen kuoppaan. Maahan tullessasi näet vanhan miehen.

"Minulla on haaste sinulle," hän sanoo. Hän aukaisee kuopan pohjaan piilotetun salaluukun ja kiipeää tikkaita pitkin alas. Hän johtaa sinut käytävän läpi suureen huoneeseen. Näet kaksi ihmistä ja kolme tuolia, jotka ovat peräkkäin, suunnattuna samaan suuntaan. Kaksi muuta ihmistä istuvat tuoleissaan silmät sidottuina ja vanha mies sitoo sinut omaan tuoliisi ja laittaa siteen silmillesi. Vanha mies sanoo: "Annan teille tehtävän: Minulla on viisi hattua, kolme vihreätä ja kaksi punaista. Panen yhden hatun teidän jokaisen päähänne ja teidän tulee kertoa minulle, minkä värinen hattu teillä on päällänne.

Mies laittaa hatut teidän päihinne ja avaa siteet silmiltänne. Olette sijoittuneet siten, että taaimmainen henkilö näkee molemmat edessään olevat henkilöt, keskimmäinen näkee vain edessään olevan (sinut) ja sinä et näe kumpaakaan. Pitkän hiljaisuuden jälkeen sinä tokaiset, "Minä tiedän minkä värinen hattu minulla on päässäni."

Minkä värinen hattu sinulla on ja mistä pystyt tietämään hattusi värin?

Pulmatehtävä Die Hard 3 -elokuvasta

Die Hard 3 -leffassa John McClane (Bruce Willis) ja Zeus (Samuel L. Jackson) joutuvat ratkaisemaan seuraavan pulmatehtävän saadakseen pommin deaktivoitua:

Käytössä on 3L ja 5L vesiastiat sekä suihkulähde, josta saa vettä (rajattomasti). Astian saa täyttää täyteen tai kaataa tyhjäksi ja astiasta saa kaataa vettä toiseen astiaan; astioissa ei kuitenkaan ole mitään mitta-asteikkoja. Tehtävänä on mitata tasan 4L suuruinen vesimäärä 5L astiaan. (Toiseen astiaan tällöin jäävä vesimäärä on epäoleellinen.) Kuinka tulee toimia?

Katso elokuvan pulmatehtäväpätkä

"...Hey!...You wanna focus on the problem at hand?"

Lisätehtäviä

• Mikäli vesiastioiden tilavuudet olisivat 3L ja 6L ja tehtävänanto muuten sama, olisiko tehtävä mahdollinen? Miksi? Entä jos tilavuudet olisivat 7L ja 10L?
• Miksi alkuperäinen tehtävä ylipäätään on mahdollinen? Mikä ehto vesiastioiden tilavuuksien on siis täytettävä, jotta tehtävä onnistuu (jos oletetaan, että tilavuudet ovat positiivisia kokonaislukuja)? (vinkki: liittyy lukuteoriaan ja nk. Diofantoksen yhtälöön)
• Kuinka tehtävän voi ratkaista verkkoteorian avulla?

Ratkaisu

Piirretään seuraavanlainen tehtävänannon ehtojen mukainen suunnattu verkko:

Verkon kärkinä (solmuina) ovat astioissa olevat vesilitramäärät siten, että selvästikin merkinnässä (x,y) muuttuja x tarkoittaa veden määrää 3L astiassa ja vastaavasti y veden määrää 5L astiassa. (Miksi väliin "jäävät kärjet" eivät kuulu verkkoon?)

Nyt halutaan siis oleellisesti löytää reitti suunnatulla verkolla kärjestä (0,0) kärkeen (0,4) tai (3,4). Itse asiassa, jos toinen edellä mainituista löydetään, saadaan toinen helposti jatkamalla yhden pykälän eteenpäin (joko täyttämällä tai tyhjentämällä kolmen litran astia tilanteen mukaan).

Huomaa, että halutaan päästä joko solmuun (kärkeen) (0,4) tai (3,4), sillä vain näissä viiden litran astiassa on vaadittu 4L vesimäärä. Tutkimalla havaitaan, että tehtävänannon ehdot toteuttava reitti on:

(0,0), (0,5), (3,2), (0,2), (2,0), (2,5), (3,4)

ja mikäli halutaan niin lopuksi vielä (0,4). Muitakin ratkaisuja saattaa olla, en ole etsinyt. Tarkennus 25.9.2007: Ratkaisuja on ääretön määrä (kuvassa voidaan halutessa "kiertää" pidempäänkin ennen kärkeen (0,4) tai (3,4) menemistä), mutta "mahdollisimman lyhyitä reittejä" on kuitenkin vain kaksi.

Kiitos tehtävästä mainitsemisesta ja yllä esitetystä ratkaisusta kuuluu kesäkuussa suorittamani Johdatus diskreettiin matematiikkaan -kurssin opettajalle, Markku Vilppolaiselle.

LISÄYS 7.9.2007

Annoin Klassikan MAA1-ryhmälleni eilen torstaina tämän tehtävän oppitunnin alussa mietittäväksi. Löppösen Anni ja Pesosen Johanna ratkaisivat tehtävän ja kävivät myös ansiokkaasti taululla selittämässä ratkaisunsa luokalle. Annin ratkaisu oli edellä esittämätön, mutta kaaviokuvasta luettavissa oleva

(0,0), (3,0), (0,3), (3,3), (1,5), (1,0), (0,1), (3,1), (0,4).

Johanna esitti saman ratkaisun kuin minä alunperin. Molemmat keksivät ratkaisun kirjaimellisesti muutaman minuutin miettimisellä ilman kynää ja paperia, itseltäni kesti pidempään :)

LISÄYS 25.9.2007

Huomaa, että nk. Diofantoksen yhtälö, eli yksi yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, liittyy juuri samaiseen asiaan ja Diofantoksen yhtälön avulla voi ratkaista tämän tehtävän analyyttisesti (laskennallisesti). Diofantoksen yhtälöä käsitellään lukion pitkän matematiikan kurssilla 11, Logiikka ja lukuteoria. Katso myös uskoakseni samaiseen kreikkalaiseen matemaatikko Diofantokseen liittyvä pulmatehtävä.