24.3.2007

Havainnollistus käänteiskuvauksen/-permutaation muodostamisesta

Eilen matikan Approbatur3-kurssin demoissa oli aiheena permutaatiot ja mm. käänteispermutaatioiden muodostaminen. Kertauksena, että permutaatio on äärellisen joukon bijektiivinen kuvaus joukolta itselleen, esim. jos joukko X = {1, 2, 3} niin vaikkapa

f:X->X,
f(1)=2, f(2)=1, f(3)=3

on esimerkki permutaatiosta joukossa S3.

Jos meillä nyt on yhdistetty permutaatio π1π2π3 niin tämän käänteispermutaatio on π3-1π2-1π1-1 eli jokaisesta kuvauksesta otetaan käänteinen ja kuvausjärjestys vaihdetaan. Huomaa, että π1π2π3 tarkoittaa yhdistettyä kuvausta π1(π2(π3(x))).

Kysymys

Nyt kysymys kuuluukin, miksi yhdistetyn kuvausten osakuvausten järjestys täytyy vaihtaa? Miksi ei riitä, että otetaan vain jokaisen osakuvauksen käänteiskuvaus?

Esimerkki: pukeutuminen ja riisuuntuminen

Perustelu esimerkin/havainnollistuksen avulla: kuvittele, että tulet suihkusta ja laitat vaatteet päällesi. Sinun täytyy aloittaa "sisimmästä" vaatekerroksesta vaatteita pukiessasi. Yksittäisenä operaationa tässä on yksittäisen vaatekappaleen pukeminen päälle. Kun sitten seuraavan kerran menet suihkuun, suoritat käänteiset operaatiot kaikista pukiessasi suorittamistasi operaatioista eli riisut jokaisen vaatekappaleen. Suoritat nämä yksittäiset käänteisoperaatiotoperaatiot kuitenkin päinvastaisessa järjestyksessä kuin pukeutuessasi.

Esimerkki: turvalukollisen oven avaaminen ja lukitseminen

Kuvittele ovi, jossa on turvalukko. Kun tulet kotiin, sinun täytyy ensin avata turvalukko ja sitten itse ovi. Kun poistut kotoa, sinun on ensin suljettava ovi ja sitten lukittava turvalukko. Suoritat siis edellisten operaatioiden käänteisoperaatiot päinvastaisessa järjestyksessä kuin sisään tullessasi. Kun suoritetaan operaation ja sitten sen käänteisoperaatio päädytään lopputuloksena lähtötilanteeseen.

4 kommenttia:

Riikka kirjoitti...

Todella käytännönläheisiä havainnollistamisia!

Janne kirjoitti...

Kiitos palautteestasi :)

Riikka kirjoitti...

Mielenkiinnosta muuten vielä, että käytiinkö näitä käytännönläheisiä havainnollistamisia ihan luennoilla? Itse jäin vähän pohtimaan, miten tämä liittyy varsinaisen asian perusteluun/ kehittävätkö ne varsinaisesti matemaattista ajattelua ko. asian suhteen (vaikkakin ainakin havainnollistavat luoden yhteyden/muistisäännön arkielämään). Mitä mieltä itse olet?

Janne kirjoitti...

Moi,
Luennoista en osaa sanoo kun Mikko luennoi kurssin enkä ole ollut luennoilla paikalla. Keksin nuo esimerkit kurssin demoa pitäessäni kun selitin asiaa kolmen opiskelijan pienryhmälle.

Tarkoituksena ei ollut perustella asiaa matemaattisesti vaan antaa mielikuva, jonka kautta itse matemaattisen asian muistaminen toivottavasti helpottuu. Itselleni arkielämään liitetyt havainnollistukset auttavat muistamaan ja tästä syystä suosin tällaisia havainnollistuksia aina kun mahdollista, joko itse keksittyinä tai muilta opittuna.

Kielikuvana/havainnollistuksena ;) omasta kokemuksestani: ilman konkreettia mielikuvaa on (minkä tahansa abstraktin) asian muistaminen kuin kahvattoman oven avaaminen...on vaikea saada otetta ja päästä syvemmälle. Jos taas ovessa on kahva, on "muistin oven" avaaminen ja opitun palauttaminen mieleen hiukan helpompaa :)