Tehtävä jalkapallon viisi- ja kuusikulmioiden määrästä

Kuukaus tai pari sitten Kaartisen Sinikan pääainematikan opettajademon päätteeksi rakennettiin niistä joistain kolmiulotteisten kappaleiden rakennuspalikoista halkaisijaltaan n. 50cm kokoinen "jalkapallo" Rautiaisen Mikon, Kaivosojan Hetan ja Kalliokosken Suvin kanssa. Mukana oli lisäksi ainakin didaktikkomme Sinikka ja ehkä muitakin, mutten valitettavasti muista varmaksi. (Mikäli olit projektissa mukana ja satut lukemaan tätä, mainitse mulle asiasta niin lisään nimesi listaan :)

Eilen alkuiltapäivästä meidän Hanna, Turusen Päivi ja Aku ja minä istuttiin Kuopiossa porukoiden olohuoneessa ja juteltiin. Minä ja Aku heiteltiin samalla pientä pehmeää "jalkapalloa" edestakaisin huoneen poikki.

Otin pallon yhdessä vaiheessa käteeni ja laskin viisikulmioiden määrän ja huomasin sen olevan 12. Rupesin manuaalisesti (1-2-3-tyyliin) laskemaan kuusikulmioiden määrää, mutta niiden määrä oli vaikeampi laskea, sormet kun loppuivat kesken ;) Rupesin sitten miettimään voisinko jotenkin päätellä kuusikulmoiden määrän. (Tämän laskemiseen on varmaan joku hyvä kaava, mutta ei tullut heti mieleen, joten päätin vain tarkastella palloa ja yrittää päätellä.)

Tehtävät

Tämän pohjalta muotoilin kaksi tehtävää, joista ensimmäinen tulikin jokseenkin jo kuvailtua edellä. Jälkimmäinen tehtävä on astetta vaikeampi, mutta kuten tehtävänannoista on ilmeistä, ei oppilaalle mielekkäästi voi kerralla antaa tehtäväksi kuin jomman kumman näistä kahdesta:

1. Jalkapallossa on 12 säännöllistä viisikulmiota. Päättele säännöllisten kuusikulmoiden määrä palloa tai sen kuvaa katsomalla.
2. Jalkapallossa on 20 säännöllistä kuusikulmiota. Päättele säännöllisten viisikulmioiden määrä palloa tai sen kuvaa katsomalla.

Ratkaisut

Tehtävä #1

Koska viisikulmioita on 12 kpl, on viisikulmion sivuja yhteensä 12*5 = 60 kpl. Jokainen kuusikulmio "kuluttaa" kolme viisikulmion sivua. Koska jokainen viisikulmion sivu täytyy tulla "kulutetuksi", on kuusikulmioita oltava 60/3 = 20 kpl.

Tehtävä #2

Koska kuusikulmoita on 20 kpl, on kuusikulmion sivuja yhteensä 20*6 = 120 kpl. Vain puolet kuusikulmioiden sivusta ovat liitettyinä viisikulmioihin, joten viisikulmioihin liitettyjä kuusikulmion sivuja on 120/2 = 60 kpl. Jokaisen viisikulmion jokainen sivu on liitettynä kuusikulmioon, joten jokainen viisikulmio "kuluttaa" viisi kuusikulmion sivua. Koska "kulutettavia" kuusikulmion sivuja on edellä esitetyn perusteella 60, on jalkapallossa viisikulmioita 60/5 = 12 kpl.

Tehtävien tekoa varten...

(kuvan lähde / image source:
http://www.cadcourse.com/winston/SoccerBall.html)

Lisäys 30.3.2007, jalkapallon ja ikosaedrin yhteys

Jalkapallo on itseasiassa ikosaedri (engl. icosahedron), jonka kärjet on leikattu, englanniksi ilmaistuna "truncated icosahedron".

Funktioiden ja yhtälöryhmien konkretisoimisesta

Eilen illalla tulin porukoiden kyydissä Jyväskylästä Kuopioon. Äitini on yläkoulun kotitalousopettaja ja oli hiljattain käytävällä kuullut joidenkin 9.luokkalaisten kommentoivan etteivät kunnolla ymmärrä funktioita ja yhtälöpareja ja että "Mitä hyötyä nuista muka mulle ikinä on?!?"

Funktio - mihin sitä tarvitsen?

Rupesin sitten siinä autossa istuessani miettimään kuinka funktion käsitteen voisi tuoda mahdollisimman konkreettiseksi tai keksiä sellaisen esimerkin, jossa oppilas selvästi näkee että hänen oikeasti tarvitsee ymmärtää funktio-ajattelua.

Keksin seuraavan lähestymistavan: Oppilaat laitetaan (esim. jonkun projektin osana mikäli mahdollista) laatimaan taulukkolaskentaohjelmalla jokin taulukko, jossa joutuisi laskemaan esim. koontitietoja kuten keskiarvoja tai vaikkapa laskemaan erilaisten kappaleiden pinta-aloja syötettyjen mittojen perusteella. Tällöin oppilas tavallaan joutuisi kirjoittamaan funktioiden määrittelyitä kirjoittaessaan laskentakaavoja taulukkolaskentaohjelman soluihin. Sopivan teoriapohjustuksen kanssa arvelisin tällaisen toiminnan valaisevan funktion käsitettä paremmin kuin oppikirjoissa usein esitettävät piirrokset "funktio-koneista", joihin syötetään jotain ja sitten ne palauttavat jotain muuta ulos.

Oppilaiden motivaation kannalta olisi erittäin hyvä ettei opettaja sanelisi "tehkää nyt tällainen taulukko" vaan että oppilaat itse saisivat suunnitella taulukkonsa ja sen mitä siinä lasketaan. Opettaja joutuu tietysti antamaan jonkinlaisen ohjeistuksen, jotta tavoitteisiin on mahdollista päästä. Mikäli asiaa ei voida mielekkäästi sitoa minkään projektin yhteyteen, voisivat taulukot liittyä mahdollisimman läheisesti oppilaiden arkeen kuten kännykän käyttöön tai operaattoreiden väliseen hintojen vertailuun, henkilökohtaiseen budjetin ja rahankulutuksen seurantaan esim. yhden viikon ajalta...en keksi parempia ideoita tähän hätään...

Kun funktio-ajattelu alkaa luonnistua, voisi oppilaille antaa taulukkomuodossa funktioiden arvoja tietyille syötteille ja oppilaan tehtävänä olisi yrittää keksiä funktio f(x), joka toteuttaa annetut ehdot.

Myöhemmin voisi pyytää oppilaita itse määrittelemään funktion käsitteen. Kun oppilas joutuu itse omien havaintojensa ja käsitystensä pohjalta määrittelemään jotain, vaatii tämä paljon ajattelua ja aktivoi oppilasta miettimään itse. Syksyn harjoitteluissa yksi ohjaavista opettajistani, Leena Reinikka, totesi useampaan kertaan: "Oppilaat halutaan saada ajattelemaan."

Yhtälöryhmistä

Yhtälöryhmistä en keksinyt automatkan aikana (enkä vielä tähän hetkeenkään mennessä) mitään 9.luokkalaisen arkeen kiinteästi liittyvää havainnollistusta. Ysiluokalla käsitellään kahden muuttujan, kahden yhtälön lineaarisia yhtälöryhmiä. Kyseessä on siis käytännössä kaksi suoraa, joiden leikkauspisteestä ratkaisu löytyy (mikäli leikkauspiste on olemassa eli suorat eivät ole yhdensuuntaiset). Tätä aihetta täytyy vielä kehitellä jo siksikin, että tulevan tammikuun loppupuolella pidän Elina Kuulan 9.luokkalaisille tunteja mm. juuri yhtälöryhmistä.

Mielikuvaoppimisesta

Hetki sitten löysin Kuopion yliopiston YLE Radio Kantin sivuilta 25.5.2001 nauhoitetun, mielikuvaoppimista käsittelevän haastattelun, jossa mm. äitini on haastateltavana. Haastattelun otsikkona on "Mielikuvaoppimisella opiskelusta tulee kiinnostavaa".

Suora linkki haastatteluun (RealAudio)

Sarasen Erkin 9B:n matikan tunneista 1.-12.12.05

Tämän syksyn viimeiset harjoitustunnit pidin Sarasen Erkin (Norssi/JKL) 9B-ryhmälle aiheista lieriö, kartio ja niiden tilavuus ja pinta-ala. Pidin yhteensä neljä tuntia (1.12., 2.12., 5.12. ja 8.12.), joista jälkimmäiset kaksi puoliksi Hämäläisen Sepon kanssa. Tämän lisäksi olin auttamassa kahdella tunnilla (9.12. ja 12.12.).

Ennen ko. opetusjakson alkua olin juuri hankkinut itselleni Norssialbumin, jossa on jokaisen yläkoulun ja lukion oppilaan sekä henkilökunnan nimet ja kuvat. 30.11. illalla ennen ensimmäistä tuntia ehdin opetella suurimman osan oppilaista nimeltä kuvien perusteella. Kun sitten seuraavana päivänä pidin ensimmäistä tuntia ryhmälle, pyysin oppilaita aina sanomaan ensin nimensä ja sitten vastauksensa. Koska olin jo nimet lyhytmuistiini lukenut, oli tunnilla paljon helpompi sitten muistaa oppilaiden nimet näiden kerrottuaan ensin nimensä ja täten pystyin puhuttelemaan oppilaita nimillä jo ensimmäisellä tunnilla.

Olen miettinyt oppilaiden nimeltä puhuttelemisen merkitystä opetuksen mielekkyyden ja tuntien sujuvuuden kannalta tämän syksyn aikana silloin tällöin. Olen myös jutellut asiasta mm. kotitalousopettaja-äitini ja opettajaopiskelukavereideni kanssa. Kun tekee parhaansa oppiakseen jokaisen oppilaansa nimen ja tämän seurauksena kykenee puhuttelemaan oppilaitaan nimeltä, uskon tämän vaikuttavan positiivisesti; oppilas kokee olevansa merkityksellinen opettajan käyttäessä oikeaa nimeä sen sijaan että sanoisi "hei sinä siellä" tai että katsoo aina vain istumajärjestyksestä.

Palautetta oppilailta

Harjoittelujakson lopuksi, maanantaina 12.12.05, pyysimme Sepon kanssa oppilailta kirjallista palautetta oppitunneista. Annoimme nimettömänä täytetyt palautekaavakkeet kotiin täytettäväksi ja pyysimme palauttamaan ne seuraavalla matematiikan tunnilla, torstaina 15.12. Kukin oppilas täytti kaksi palautekaavaketta, yhden Sepolle, yhden minulle. Tässä muutamia sitaatteja oppilaiden minulle kirjoittamasta palautteesta:

Risuja:

• "Matikka on ihan helppoa, mutta kun asioita jankataan niin paljon, niin tylsistyy."
• "Ei se [matikka] aina ole tylsää ja vaikeaa, mutta tunneilla voisi olla muutakin kuin pelkkää kirjasta laskemista esim. pelejä tai pulmakortteja"
• "Itse vihaan kaikkia vitsailevia opettajia, mutta muista en tiedä. Vitsailu voi viedä huomion opiskelusta liiaksi ja aiheuttaa juttelua."
• "edetään kauheen nopeasti"
• "[Työrauha on] hyvä, vaikka välillä puhutaankin, ja aina ei puhuta ihan muusta, joskus saatetaan puhua ihan aiheesta, vaikka aina valitetaankin."
• "oli ihan mukavia tunteja, mutta välillä tuli liikaa läksyjä"
• "Ps. Lisää viivoja seuraavaan palautelappuun!"

Ruusuja:

• "Osaat opettaa hyvin! Huumoria löytyi, ei tunnit muuttunut tavallisen tylsiksi"
• "Luokka suhtautui myönteisesti opetukseesi ja saatin myös tuloksia aikaan."
• "Huumori saa myös vähemmän matikasta pitävät kiinnostumaan opetuksesta"
• "[opettaja] vaikuttaa ihan hauskalta, kaikki saavat apua tarvittaessa, eikä ketään suosita"
• "olit opettaessa miellyttävä ja autoit apua tarvitsevia"
• "[opettaja on] iloinen ja juttelee muustakin kuin matikasta!"
• "tunnit olivat rentoja"
• "Olen huono matikassa mutta sinun jälkeesi olo on kuin Einsteinilla"
• Opetus oli selkeää ja tunnit menivät yllättävän nopeasti. Paras matikan harjoittelija tähän mennessä!"

Oppilaiden arvioita omasta toiminnastaan ja oppimisestaan:

• "Opin uudet asiat hyvin. Voisin ehkä välillä keskittyä tunneilla enemmän."
• "Joskus ehkä tulee juteltua kavereitten kanssa, muuten [työrauha on] mielestäni hyvä."
• "Olen huono matikan pulmissa, mutta kehityn aina :)"
• "Yleensä matikan harjoittelijoilta ei opi paljon mitään, mutta nyt tajusin asiat!!"
• "Opin tällä kurssilla eniten, yhtään liioittelematta"

Ryhmäytymisleikkejä

Ritva-Liisa Järvelän OPEA210:n tietotekniikan 30.11.05 pääainedemoon oli tehtävänä selvittää/miettiä/keksiä erilaisia tapoja/leikkejä/pelejä, joita voisi käyttää pihalla tai jopa sisällä, ryhmähengen luomiseen/parantamiseen. Tässä muutamia, ei itse keksimiäni, mutta mieleen tulleita mahdollisuuksia:

Käsihässäkkä => ympyrä käsi kädessä

Tälle varmaan on joku hyvä suomenkielinen nimi, mutta ainakaan tällä hetkellä en keksi parempaa nimeä kuin "käsihässäkkä". Idea on seuraava:

1. Tarvitaan mielellään n. 8-15 ihmistä.
2. Mennään pieneen, tiiviiseen ympyrään, jokainen sulkee silmänsä ja laittaa kätensä piirin keskelle siten, että omien käsien kyynärvarret menevät ristiin, esim. oikea kyynärvarsi kulkee oman vasemman kyynärvarren yli tai päinvastoin.
3. Tämän jälkeen silmien pysyessä kiinni etsii jokainen henkilö molemmalle kädelleen kättelyotteeseen jonkun toisen piirissä olevan henkilön käden.
4. Kun jokaisella on molemmissa käsissään kättelyotteessa jonkun muun piiriläisen käsi, avataan silmät.
5. Tehtävänä on nyt saada syntynyt käsihässäkkä avattua niin, että lopulta muodostuu ympyrä. Vaikka käsiä saa tarvittaessa kääntää pois normaalista kättelyotteesta, ei otetta kaverin kädestä saa kuitenkaan missään vaiheessa irrottaa.

Riippuen muodostuvasta hässäkästä, ei ympyrän muodostaminen otteita irrottamatta aina ole mahdollista esim. jos muodostuu kaksi erillistä, toisissaan kiinni olevaa "rengasta". Usein ympyrän muodostaminen kuitenkin onnistuu vaikka aluksi tuntuukin mahdottomalta...

Peli on kaikkinensa ehdottomasti hauska ja vaatii ryhmätyöskentelyä ja joukkuehenkeä.

Ympyrään istuminen

Tarvitaan mielellään vähintään 15-20 ihmistä, mitä suurempi määrä sen parempi. Ideana on että koko lössi muodostaa seisaaltaan tiiviin ympyrän, jossa jokaisen rintamasuunta on ympyrän kehän tangentin suuntainen ts. jokainen suurinpiirtein katsoo ympyrässä seuraavana olevan henkilön pään suuntaan. Kun kuvatunlainen ympyrä on muodostettu, istuu koko porukka yhtä aikaa alas jolloin oikein tehtynä kukin istuu takanaan olevan syliin. Onnistuessaan jokainen voi aivan normaalisti istua takana olevan sylissä jokseenkin koko painollaan, ympyrä pysyy kasassa ja jokaiselle on "tuoli" vaikka yhtään tuolia ei käytettykään ;)

Parrun päällä pituusjärjestykseen

Tämän idean kuulin Jyväskylän yliopiston opettajankoulutuslaitoksella 13.4.2005 aiheesta "Outdoor Activities" luennoimassa käyneeltä Tim Jepsonilta (University of Wales at Βangor). Idea on hyvin yksinkertainen: porukka seisomaan jonkun tukevan parrun, betonireunuksen tai muun vastaavan, n. 15 cm leveän, hiukan maan pintaa ylempänä olevan tason/liuskan päälle satunnaiseen järjestykseen. Tämän jälkeen on tarkoituksena saada koko porukka pituusjärjestykseen, ilman että kukaan putoaa tasolta jolla seisotaan. Peliä voi tietysti modifioida esim. käskemällä joukkoa järjestymään pituusjärjestyksen sijasta ikäjärjestykseen tai muuta vastaavaa.

Ikäjärjestykseen puhumatta

Melko samanlainen kuin edellä mainittu, mutta tehtävänä järjestyä esim. ikäjärjestykseen (vanhin ensin, helpompi "tarkistaa" kuin nuorin ensin, mieti miksi)...kuitenkin niin, että puhuminen, huulilta lukeminen ja esim. maahan kirjoittaminen on kielletty. Tässä ei siis tarvitse olla parrun päällä kuten edellisessä...tosin lisää vaikeutta sillä kyllä saa huomattavasti, ehkä vähän liikaakin.