Tehtävä jalkapallon viisi- ja kuusikulmioiden määrästä

Kuukaus tai pari sitten Kaartisen Sinikan pääainematikan opettajademon päätteeksi rakennettiin niistä joistain kolmiulotteisten kappaleiden rakennuspalikoista halkaisijaltaan n. 50cm kokoinen "jalkapallo" Rautiaisen Mikon, Kaivosojan Hetan ja Kalliokosken Suvin kanssa. Mukana oli lisäksi ainakin didaktikkomme Sinikka ja ehkä muitakin, mutten valitettavasti muista varmaksi. (Mikäli olit projektissa mukana ja satut lukemaan tätä, mainitse mulle asiasta niin lisään nimesi listaan :)

Eilen alkuiltapäivästä meidän Hanna, Turusen Päivi ja Aku ja minä istuttiin Kuopiossa porukoiden olohuoneessa ja juteltiin. Minä ja Aku heiteltiin samalla pientä pehmeää "jalkapalloa" edestakaisin huoneen poikki.

Otin pallon yhdessä vaiheessa käteeni ja laskin viisikulmioiden määrän ja huomasin sen olevan 12. Rupesin manuaalisesti (1-2-3-tyyliin) laskemaan kuusikulmioiden määrää, mutta niiden määrä oli vaikeampi laskea, sormet kun loppuivat kesken ;) Rupesin sitten miettimään voisinko jotenkin päätellä kuusikulmoiden määrän. (Tämän laskemiseen on varmaan joku hyvä kaava, mutta ei tullut heti mieleen, joten päätin vain tarkastella palloa ja yrittää päätellä.)

Tehtävät

Tämän pohjalta muotoilin kaksi tehtävää, joista ensimmäinen tulikin jokseenkin jo kuvailtua edellä. Jälkimmäinen tehtävä on astetta vaikeampi, mutta kuten tehtävänannoista on ilmeistä, ei oppilaalle mielekkäästi voi kerralla antaa tehtäväksi kuin jomman kumman näistä kahdesta:

1. Jalkapallossa on 12 säännöllistä viisikulmiota. Päättele säännöllisten kuusikulmoiden määrä palloa tai sen kuvaa katsomalla.
2. Jalkapallossa on 20 säännöllistä kuusikulmiota. Päättele säännöllisten viisikulmioiden määrä palloa tai sen kuvaa katsomalla.

Ratkaisut

Tehtävä #1

Koska viisikulmioita on 12 kpl, on viisikulmion sivuja yhteensä 12*5 = 60 kpl. Jokainen kuusikulmio "kuluttaa" kolme viisikulmion sivua. Koska jokainen viisikulmion sivu täytyy tulla "kulutetuksi", on kuusikulmioita oltava 60/3 = 20 kpl.

Tehtävä #2

Koska kuusikulmoita on 20 kpl, on kuusikulmion sivuja yhteensä 20*6 = 120 kpl. Vain puolet kuusikulmioiden sivusta ovat liitettyinä viisikulmioihin, joten viisikulmioihin liitettyjä kuusikulmion sivuja on 120/2 = 60 kpl. Jokaisen viisikulmion jokainen sivu on liitettynä kuusikulmioon, joten jokainen viisikulmio "kuluttaa" viisi kuusikulmion sivua. Koska "kulutettavia" kuusikulmion sivuja on edellä esitetyn perusteella 60, on jalkapallossa viisikulmioita 60/5 = 12 kpl.

Tehtävien tekoa varten...

(kuvan lähde / image source:
http://www.cadcourse.com/winston/SoccerBall.html)

Lisäys 30.3.2007, jalkapallon ja ikosaedrin yhteys

Jalkapallo on itseasiassa ikosaedri (engl. icosahedron), jonka kärjet on leikattu, englanniksi ilmaistuna "truncated icosahedron".