Pulmatehtäviä Appro3-kurssin kevään 07 demosta 7

Reittien määrä ruudukon nurkasta toiseen

Vieressä 5x5-shakkiruudukossa on aukko keskellä. Kuinka monella tavalla voidaan tässä ruudukossa päästä vasemman alanurkan ruudusta oikean ylänurkan ruutuun, kun liikkuminen tapahtuu ruutu kerrallaan joko ylöspäin tai oikealle?

Ei niin tavalliset arpakuutiot

Kahden arpakuution jokaiselle sivulle kirjoitetaan jokin positiivinen kokonaisluku. Arpoja heitetään ja ylöspäin jääneiden sivujen luvut lasketaan yhteen. Voidaanko noppien sivujen luvut valita niin, että mahdollisia summia olisivat kokonaisluvut 2-13, ja että kaikki nämä olisivat yhtä todennäköisiä? Mikäli kyllä, löydätkö useamman kuin yhden ratkaisun? Kuinka monta?

KISS-periaate

Toissapäivänä matikan Appro3-kurssin demon jälkeen mietin kuinka joskus osaa tehdä asioista turhan monimutkaisia itselleen ja sitä kautta muille mahdollisesti myös muille (jos on opettajana). Tuli mieleen lontoonkieltä puhuvien KISS-periaate, nimittäin "Keep It Simple, Stupid"...tai hiukan rohkaisevammin ilmaistuna joko "Keep It Sweet & Simple" tai "Keep It Simple, Sweetheart". Eli Einsteinin sanoin:

Asiat tulisi tehdä niin yksinkertaisesti kuin mahdollista, mutta ei yhtään yksinkertaisemmin.

Ajoittain huomaan itseni optimoimasta jotain tiettyä ratkaisua vähän liiankin kanssa...tämä sitten silloin tällöin johtaa ratkaisuihin, jotka ymmärtämisen/opettamisen/selittämisen näkökulmasta ovat kaikkea muuta kuin optimaalisia. Vois yrittää noudattaa noita em. ohjeita.

Havainnollistus käänteiskuvauksen/-permutaation muodostamisesta

Eilen matikan Approbatur3-kurssin demoissa oli aiheena permutaatiot ja mm. käänteispermutaatioiden muodostaminen. Kertauksena, että permutaatio on äärellisen joukon bijektiivinen kuvaus joukolta itselleen, esim. jos joukko X = {1, 2, 3} niin vaikkapa

f:X->X,
f(1)=2, f(2)=1, f(3)=3

on esimerkki permutaatiosta joukossa S₃.

Jos meillä nyt on yhdistetty permutaatio π₁π₂π₃ niin tämän käänteispermutaatio on π₃^-1π₂^-1π₁^-1 eli jokaisesta kuvauksesta otetaan käänteinen ja kuvausjärjestys vaihdetaan. Huomaa, että π₁π₂π₃ tarkoittaa yhdistettyä kuvausta π₁(π₂(π₃(x))).

Kysymys

Nyt kysymys kuuluukin, miksi yhdistetyn kuvausten osakuvausten järjestys täytyy vaihtaa? Miksi ei riitä, että otetaan vain jokaisen osakuvauksen käänteiskuvaus?

Esimerkki: pukeutuminen ja riisuuntuminen

Perustelu esimerkin/havainnollistuksen avulla: kuvittele, että tulet suihkusta ja laitat vaatteet päällesi. Sinun täytyy aloittaa "sisimmästä" vaatekerroksesta vaatteita pukiessasi. Yksittäisenä operaationa tässä on yksittäisen vaatekappaleen pukeminen päälle. Kun sitten seuraavan kerran menet suihkuun, suoritat käänteiset operaatiot kaikista pukiessasi suorittamistasi operaatioista eli riisut jokaisen vaatekappaleen. Suoritat nämä yksittäiset käänteisoperaatiotoperaatiot kuitenkin päinvastaisessa järjestyksessä kuin pukeutuessasi.

Esimerkki: turvalukollisen oven avaaminen ja lukitseminen

Kuvittele ovi, jossa on turvalukko. Kun tulet kotiin, sinun täytyy ensin avata turvalukko ja sitten itse ovi. Kun poistut kotoa, sinun on ensin suljettava ovi ja sitten lukittava turvalukko. Suoritat siis edellisten operaatioiden käänteisoperaatiot päinvastaisessa järjestyksessä kuin sisään tullessasi. Kun suoritetaan operaation ja sitten sen käänteisoperaatio päädytään lopputuloksena lähtötilanteeseen.

Pienryhmädemoista ja niiden tulevaisuudesta

Appro3:n kurssi loppui kesäkuun lopussa, kokemukset demotehtävien käsittelemisestä puuduttavan taulumonologin sijasta 3-4 hengen pienryhmissä olivat erittäin positiivisia sekä opiskelijoiden että ohjaajan näkökulmasta.

Työskentelymuodon käytöstä jatkossa

Keskustelimme kurssilaisten ja esimieheni Mikko Saarimäen kanssa tiistaina 27.6. viimeisen demon päätteeksi toimintatavan mahdollisesta jatkamisesta myös syksyn ja kevään kursseilla. Koska tällainen pienryhmädemotyöskentely vaatii osallistujilta tavallista demoa enemmän sitoutumista toimiakseen, oli lopullinen idea järjestää matematiikan appron syksyn ja kevään kursseilla kahdenlaisia demoryhmiä, perinteisiä ja pienryhmätyöskentelymuotoisia; jokainen demoryhmä olisi etukäteen määritelty jommaksi kummaksi ja opiskelijat voisivat näin valita kummalla työskentelytavalla haluavat demoissa käydä.

Yliopistomatikan demoja ryhmissä keskustelemalla

(Korjasin tätä tekstiä jälkeenpäin 12.7.2006, sillä alkuperäinen teksti oli melko epäselvästi jäsennelty.)

Ryhmätyöskentely vs. taulumonologi

Olen nyt pitänyt Appro3:n demoista ensimmäistä lukuunottamatta kaikki eli yhteensä neljä demoa siten, että ensin tehdyt demotehtävät merkitään kirjanpitolappuihin kuten tavallisesti, mutta tämän jälkeen tehtävät käydään taulumonologin sijasta läpi 3-4 hengen ryhmissä. Ensimmäisen kahden kokeilukerran jälkeen pyysin kurssilaisilta vapaamuotoista palautetta toimintatavasta. Palaute oli erittäin positiivista ja päätin jatkaa tällä linjalla.

Perinteisellä "taulutekniikalla" pidetyissä demoissa vallitsee yleensä lähes kuolemanhiljaisuus ja ilmapiiri on usein painostava. Hyväksi puoleksi kokeilemassani pienryhmätyöskentelyssä olen havainnut, että kun opiskelijat ovat miettineet tehtäviä omalla ajallaan ja huomanneet mitä kohtia ei ymmärrä, syntyy keskustelua ja kysymyksiä pienryhmissä luonnostaan...keskustelu ja pohdinta on runsasta ja pysyy aiheessa...jopa pieniä väittelyjäkin kehkeää ajoittain :)

Opiskelijoiden omien kommenttien mukaan pienryhmässä aiheesta keskustelun, kyselyn, kyseenalaistamisen ja omien ratkaisujen esittämisen kynnys on perinteistä taulutyöskentelyä huomattavasti pienempi.

Demoissa ei ryhmätyöskentelystä johtuen käydä kaikkia tehtäviä johdetusti läpi ja itseasiassa pyrin tavallaan siihen, että suuri osa tehtävistä käsiteltäisiin ryhmissä. Jotta kurssilainen voi esimerkkiratkaisut kuitenkin halutessaan jostain tarkistaa, olen kirjoittanut ratkaisut koneelle ja laittanut ne nettiin ja kurssin kurssikansioon.

Ajoittaista, pientä kontrollia tehdyiksi merkityistä tehtävistä

Tänään uutena elementtinä ohjeistin ryhmäläistet valitsemaan itselleen numerot, ykkönen, kakkonen, jne. Tämän jälkeen kiersin jokaisen ryhmän ja pyysin satunnaisesti jonkun numeroisen henkilön ratkaisemat tehtävät katsottavaksi. Tarkistin, että opiskelija oli todella yrittänyt niitä tehtäviä, jotka oli tehtävälappuun merkinnyt tehdyiksi. En halua luoda demoihin painostavaa tunnelmaa, mutta toisaalta ehkä silloin tällöin on hyvä tehdä tällainen tai vastaava tarkastuskierros niin demolappuihin ei ryhmätyöskentelyn pienemmän kontrollin myötä ilmesty ylimääräisiä rakseja.

Työmuodon kehitysideoita...

Jotain yhteistoiminnallisen oppimisen rakennetta voisi demoissa myös testata...esim. numeroidut päät yhdessä, kotiryhmä-asiantuntijaryhmä -työmuoto tai joku muu vastaava voisi viisaasti käytettynä osoittautua mielekkääksi...

Erilainen matikan demo

Eilen Appro3-kurssin (alunperin rikki ollut linkki korjattu) toisessa demossa tein hiukan tavallisuudesta poikkeavan järjestelyn. Otin ensin tehdyt demotehtävät listoille kuten tavallisesti, kukin siis merkkasi lappuihin mitkä tehtävät on tehnyt.

Olin ennalta valinnut kahdeksasta demotehtävästä neljä, jotka käytäisiin läpi pienryhmissä keskustellen tavoitteena, että jokainen ryhmäläinen pääsee kunkin tehtävän ideasta perille. Selitin toimintaohjeet ja kirjoitin ryhmissä läpikäytävien tehtävien numerot taululle. Loput tehtävät käytäisiin läpi tavallisella taulullekirjoitustyylillä.

Halusin saada aikaan 3-4 hengen työryhmiä ja koska paikalla oli 16 opiskelijaa, otin jaon neljään ja näin ryhmät muodostuivat jokseenkin sattumanvaraisesti. Tämän jälkeen määräsin paikan kullekin ryhmälle ja työskentely alkoi.

Työ eteni joutuisasti ja kaikki ryhmät olivat käyneet määrätyt neljä tehtävää läpi n. 25-30 minuutissa. Kehotin miettimään kahdeksatta tehtävää, jota kukaan ei ollut merkinnyt ratkaisseensa, mikäli tyhjää aikaa ryhmässä jää ja annoin tehtävään muutaman vinkin. Työskentelyä oli mukava seurata ja ohjeistetut tehtävät läpikäytyään useat ryhmät siirtyivät oma-aloitteisesti keskustelemaan/käymään läpi loppuja tehtäviä. Jouduin keskeyttämään yhden ryhmän työskentelyn taulutyöhön siirryttäessä.

Ajattelin kokeilla samaa toimintatapaa vielä ainakin seuraavissa demoissa ja sen jälkeen kysyä opiskelijoilta palautetta/kommentteja asiasta.

Kolmiossa enemmän kulmia kuin neliössä?!?

Matikan Appro3-kurssi, jolla toimin ohjaajana, alkoi tänään. Ensimmäisellä luennolla alkujohdattelussa luennoitsija Mikko Saarimäki otti esimerkin siitä kuinka matematiikassa täytyy olla tarkkana sen kanssa mitä milläkin käsitteellä missäkin asiayhteydessä tarkoitetaan. Esimerkki oli seuraavanlainen:

Väite: Neliössä on enemmän kulmia kuin kolmiossa.

Intuitiivisesti ottaen, pitää väite paikkaansa. Näin siis silloin kun kulmien "sijainti" huomioidaan. Mutta entä jos kulmien suuruuksia ajatellaan joukko-opillisesti siten, että vain toisistaan poikkeavat kulmien suuruudet huomioidaan? Tällöin neliössä onkin vain yksi kulma! Kolmiossa voi tällä tavalla määriteltynä olla 1-3 kolme kulmaa...ts. kolmiossa saattaakin olla enemmän kulmia kuin neliössä.

Tämä esimerkki on tietysti karrikoitu, mutta vastaavanlaisia tilanteita tulee matematiikassa vastaan usein.

Appro3:n opetus alkaa huomenna

Olen kesän töissä yliopiston matikan laitoksella, tehtäviini kuuluu mm. Approbatur3-kurssin ohjausten ja demojen (eli laskuharjoitusten) pitäminen sekä aiheenseen liittyvä paperityö. Kurssi on nimeltään Diskreettiä ja äärellistä matematiikkaa ja sen aihealueina on logiikkaa, joukko-oppia ja lukuteoriaa, permutaatioita ja symmetriaan liittyvää sekä klassista todennäköisyyslaskentaa. Yläasteen ja lukion matikan tunteja oon tähän mennessä päässyt pitämään, huomenna uusiin haasteisiin.