Todistetaan, että 2 = 1

Netisssä surffaillessani sattui vastaani todistus sille, että 2 = 1. Tässä väitteelle todistus:

Olkoon a = b		a, b reaalilukuja
a² = ab		kerrottiin molemmat puolet a:lla
2a² - 2ab = a² - ab		lisättiin molemmille puolille a² - 2ab
2(a² - ab) = a² - ab		yhteinen tekijä 2
2 = 1		jaettiin tekijällä a² - ab

Missä meni vikaan?

(Ajattelin näyttää tämän todistuksen jollekin lukion ryhmälle jossain vaiheessa kun aiheeseen sopii...tai sitten ihan muuten vaan pienenä pulmatehtävänä. Yläkoululaisillekin voisi tietysti kokeilla :)

Pisteiden mennessä tasan...

Lukiossa ollessani mietin yhtenä vaihtoehtona liikunnan opettajaksi opiskelemista. En sitten yliopistoon hakiessani kuitenkaan pyrkinyt liikunnalle, mutta tämän syksyn aikana olen kehitellyt ideaa liikunnan sivuaineopintoihin pyrkimisestä. Matematiikan, tietotekniikan ja liikunnan opettaja kuulostaa sopivan eksoottiselta :)

Viime viikonloppuna lueskelin sitten liikunnan sivuainehaun valintakriteerejä liikunnan laitoksen opiskelijavalintasivulta löytyvästä Vuonna 2006 valittavien opiskelijoiden määrät ja valintaperusteet -PDF:stä

Valintakokeessa on dokumentin mukaan kolme osaa: liikuntakoe (max 50p), soveltuvuuskoe (max 20p) ja kirjallinen koe (max 10p). Tiedoston viimeinen kappale kuuluu seuraavasti:

Lopullinen valinta tapahtuu valintakokeessa esitettyjen tietojen ja taitojen perusteella. Pisteiden mennessä tasan, ratkaisee liikuntakokeissa saavutettu pistemäärä. Mikäli pistemäärä edelleen on tasan, ratkaisee paremmuuden soveltuvuuskokeessa saavutettu pistemäärä. Jos eroa ei ole syntynyt toisenkaan kriteerin perusteella, niin kolmantena paremmuuden ratkaisevana tekijänä on kirjallisessa kokeessa saavutettu pistemäärä.

Pisteiden mennessä tasan...joudutaan saatetaan joutua ongelmiin, jos yllä kuvattuja valintaehtoja käytetään. Kysymys kuuluukin: Mikä looginen virhe valintaperustedokumentin viimeisen kappaleen tekstiin sisältyy?

MA8, pitkän matikan integraalilaskenta, pe 20.1.06

Tänään oli viides tunti Pietiläisen Raunon MA8-ryhmälle. Aiheena jatkettiin eilisen asiaa eli määrätyn integraalin käsittelyä pinta-alatulkintana. Ei siis edelleenkään siirrytty integraalifunktioon sijoitukseen; Torssosen Antti aloittaa määrätyn integraalin ja integraalifunktion välisen yhteyden käsittelyn ensi viikolla.

Annoin tunnin aluksi opiskelijoille positiivista palautetta eilisen tunnin ryhmätyöskentelystä, jota oli mielestäni todella mukava seurata: keskustelua, ideoiden heittelyä, väitteiden esittämistä ja perustelemista...juuri näin :)

Palautteen antamisen jälkeen laitoin opiskelijat taas käymään kotitehtävät läpi vieruskavereiden kanssa keskustellen, tavoitteen että jokainen pääsee tehtävän ideasta "jyvälle". Toiminta sujui hyvin. Omien kokemusteni mukaan kyseinen työtapa toimii lukiolaisten kanssa paremmin kuin yläkoululaisten...tosin tavoitteenani on saada työskentelymuoto myös yläasteen ryhmissä sujuvaksi.

Kotitehtävien läpikäymisen jälkeen tutkittiin päivän aihetta. Tähdensin, että määrättyä integraalia ei pidä sekoittaa integraalifunktioon, sillä ensimmäinen on tyypiltään reaaliluku, jälkimmäinen on lauseke/funktio. Opiskelijoille jäi harjoitustehtävien tekemiseen n. 25 minuutiksi.

Pidän ko. ryhmälle vielä yhden tunnin Rautiaisen Mikon kanssa 2.2.06, mutta pyysin oppilailta tässä vaiheessa palautteen pitämieni viiden tunnin pohjalta.

Oppilaiden palautteesta

Lyhyenä yhteenvetona opiskelijoiden antamassa palautteessa ehkä suurimpana negatiivisena oli mainittu tuntien "opettajattomuus" eli opiskelijoiden tuntuma siitä, että asia etenisi tehokkaammin opettajajohtoisesti. Myös lievä tunne kiireisyydestä mainittiin muutamassa palautteessa. Yleisesti tunneista jäi itselleni hyvä maku suuhun ja palautteiden yleissävyn perusteella tunne oli molemminpuolinen.

MA8, pitkän matikan integraalilaskenta, to 19.1.06

Tänään kaksoistunnin aiheena oli "Pinta-ala ja määrätty integraali". Tärkeitä käsitteitä mm.:

• porraskuvioapproksimaatio
• porrassumma
• pinta-ala porrassummien raja-arvona
• ala- ja ylä(porras)summa
• välin jako

Käsittelyssä ei siis vielä ollut integraalifunktion ja määrätyn integraalin välinen yhteys pinta-alatulkintana F(b)-F(a) integroitaessa funktiota f välillä [a, b], vaan ideointi siitä kuinka tasokuvioista muun kuin monikulmion alaa ylipäätään voitaisiin arvioida sellaisten tasokuvioiden avulla joiden pinta-alat osataan laskea. Päätin toteuttaa hiukan "tavallisesta" oppitunnista poiketen laittamalla oppilaat itse keksimään ja ideoimaan ryhmissä. (ks. tutkimusmoniste)

Kotitehtävien tarkistaminen

Otin oppitunnin alussa jaon niin, että muodostui 3-4 hengen ryhmiä. Kun jaon mukaisiin ryhmiin oli siirrytty, kehoitin opiskelijoita käymään kotitehtävät ryhmässään läpi vapaasti aiheesta keskustellen tavoitteena että jokainen ryhmäläinen saa kotitehtävien ideoista peruskäsityksen. Kirjoitin taululle lisäksi muutaman lisätehtävän ja kehoitin opiskelijoita miettimään niitä mikäli luppoaikaa läksyjen tarkistamisessa jää. Kiertelin luokassa ja työskentely sujui hyvin: opiskelijat keskustelivat, kyselivät, kyseenalaistivat ja perustelivat. Selittivät läksytehtäviä omin sanoin. Juuri tällaista matematiikan tulisikin olla. Matematiikan kielellistämisestä, omin sanoin selittämisestä on varmasti hyötyä oppimisen kannalta. (Valitettavasti en tähän hätään osaa siteerata yhtään tutkimusta aiheesta, mutta tiedän että asiaa on tutkittu.)

Ideointi ryhmissä: kuinka yleisen tasokuvion alaa voisi arvioida?

Kun ryhmät olivat käyneet kotitehtävät läpi, katsoimme dokukameralla oppikirjan (Matematiikan taito 8, WSOY, vuoden 2000 painos) s. 40 alkupalat 1 ja 2. Ensimmäisessä kysytään kuinka suuri on suoran y = 0.5x + 1 ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala välillä 0 ≤ x ≤ 4? Toisessa oli pylväsdiagrammi erään yrityksen tuloksesta viitenä peräkkäisenä vuotena. Kahtena vuonna viidestä, oli tulos ollut tappiollinen. Tämä antoi oppilaille (ehkä tiedostamattakin) ajatuksen siitä, että x-akselin alapuolinen pinta-ala on sovittu käsiteltäväksi negatiivisena.

Yllä mainittujen esimerkkien lyhyen tutkimisen ja keskustelun jälkeen jaoin oppilaille tutkimusmonisteet ja päästin heidät ryhmissä töihin. Arvioin alunperin aikaa monisteen tekemiseen tarvittavan noin 40-45 minuuttia, mikä pitikin jokseenkin hyvin paikkansa. Työskentelyn aikana sekä minä että ohjaava opettajani RPI kiertelimme luokassa ja autoimme opiskelijoita tarvittaessa. Opiskelijoiden keskusteluja oli erittäin mukava seurata, jopa luontaisia pieniä väittelyjäkin syntyi.

Ryhmien saatua tutkimusmoniste läpikäytyä käytimme viimeiset 25 minuuttia harjoitustehtävien tekemiseen ja lisäksi kysyin tunnin lopuksi opiskelijoilta palautetta tämäntyylisestä työskentelystä. Tässä otteita palautteesta:

Otteita opiskelijoiden tuntemuksista tunnin lopulla

Tässä opiskelijoiden palautteissa esille tulleita näkökulmia, osa on suoria sitaatteja, osa koottuja, palautteiden pohjalta itse kirjoittamiani lauseita. Suorat sitaatit on merkitty lainausmerkein.

Negatiivista

• Ajankäyttö on hankalaa ryhmissä.
• Olisi voitu ehkä laskea kauemmin niin olisi päässyt paremmin sisälle aiheeseen ja ymmärtänyt jutut paremmin.
• Asiat ois voinu tajuta helpommallakin tavalla ja nopeemmin.
• ...mutta oikeastaan OIKEA oleellisen oppiminen oli todella vähäistä.
• Epäselväksi jäi vielä että miten tämä kaikki liittyi aiemmin opittuun.

Positiivista

• Tunti meni todella nopeasti ja oli hauskaa. Opin kuitenkin aika paljon (vaikka välillä olikin vähän toivoton olo).
• Hyvä kun ope kiertelee katselemassa ja kyselemässä.
• Tunnilla oli hyvää se että asioita joutui oikeasti miettimään itse.
• Hyvä kun voi itse tajuta asioita pienillä vinkeillä.
• Tunti oli rento, ryhmässä helpompi mietiskellä kuin yksin.

Ajatuksia palautekeskustelusta ohjaavan opettajan kanssa

• Tunnilla oli rento ilmapiiri ja oppilaat uskalsivat kysellä ja keskustella :)
• Kuvallista, verbaalia ja symboolista - kaikkia näitä esitys-/havainnollistustapoja tulisi käyttää joka tunnilla.
• Oppilaiden puhuttelu heidän etunimillään on luokkailmapiirin luonnissa erittäin tärkeätä.
• Koulumatikassa historiallinen "konkreetista abstraktiin" tapahtunut matemaattisten käsitteiden alkuperäinen kehittäminen jää oppilaille usein epäselväksi ja matematiikan tutkiva luonne ei välttämättä välity oppilaalle.

Tiedostoja

• Tuntisuunnitelma
• Opiskelijoille jakamani tutkimusmoniste
• Opiskelijoiden autenttiset palautteet kaksoistunnista [osa 1]
• Opiskelijoiden autenttiset palautteet kaksoistunnista [osa 2]

MA8, pitkän matikan integraalilaskenta, ti 17.1.06

Tänään pidin ensimmäisen kaksoistunnin Pietiläisen Raunon (RPI) lukion pitkän matematiikan integraalilaskennan kurssilla (MA8). Tunnin pääaiheena oli määräämättömän integraalin osittaisintegrointi ja sivuaiheena introsin myös sijoitusmenetelmällä integroimisen ja otin aiheesta yksinkertaisen esimerkin.

Ongelmalähtöinen aloitus

Kotitehtävien käsittelyn jälkeen pääsimme päivän aiheeseen. Annoin oppilaille tehtävän laskea määräämätön integraali x sin x:stä ja että taulukkokirjassa avainsana on "osittaisintegrointi". Kehoitin työskentelemään yksin, pareittain tai ryhmissä oman preferenssin mukaan. Oppilaat ryhtyivät työhön ja noin 10 minuutin työskentelyn jälkeen jokseenkin kaikki olivat saaneet tehtävän ratkaistua. Suuri osa oppilaista tosin teki f':n ja g:n valinnassa aluksi virheen, eli valitsivat:

f'(x) = x, jolloin f(x) = 0.5x2
g(x) = sin x, jolloin g'(x) = cos x

mutta nämä valinnat eivät helpota integrointia vaan johtavat uuteen osittaisintegrointitehtävään. Kun oppilaat kuitenkin huomasivat, osa vinkin jälkeen, osa ilman, valita seuraavasti:

f'(x) = sin x, jolloin f(x) = -cos x
g(x) = x, jolloin g'(x) = 1

helpottui tehtävän ratkaiseminen oleellisesti. Integrointitehtävän ratkaisunsa voi tietysti tarkistaa derivoimalla.

Osittaisintegrointi useamman kerran peräkkäin

Seuraavaksi käsittelin x2ex:n määräämättömän integraalin määrittämisen osittaisintegroimalla. Vaikka valitaankin fiksusti g(x) = x2 ja näin päästään "tiputtamaan x²:n potenssia" derivoimalla g(x):ää, joudutaan silti osittaisintegroimaan kaksi kertaa ennen ratkaisuun pääsemistä.

Hiukan tavallisesta poikkeava osittaisintegrointitehtävä

Seuraava tehtävä esitetään WSOY:n Matematiikan taito 8 -kirjan tehtävänä 129a. Tehtävä on mielestäni erittäin hyvä, koska se ei ole "tyypillinen" osittaisintegrointitehtävä. Tehtävä jääköön lukijalle harjoitustehtäväksi :)

Laske määräämätön integraali lausekkeelle: exsin x

Osittaisintegrointikaavan johtaminen

(Integrointivakio c voidaan sisällyttää jäljellä oleviin integroitaviin eikä sitä näinollen tarvitse merkitä osittaisintegroinnin kaavaan näkyviin.)

Palautekeskustelusta tunnin jälkeen

Oppitunnin jälkeen Pietiläisen Raunon (ohjaava opettajani) ja Kaartisen Sinikan (ainedidaktikkoni) kanssa käydyssä palautekeskustelussa tuli esille mm. seuraavaa:

Tunnin alun ongelmalähtöinen lähestyminen, jossa oppilaat laitettiin itse kokeilemaan ja käyttämään kirjallisuutta (MAOL:n taulukkokirjaa) lähteenään uuden konseptin sisältäneen tehtävän ratkaisemiseen onnistui hyvin. Koko ryhmä sai tehtävän tehtyä. Tärkeää oli osittaisderivoinnin oppiminen, mutta vielä tätäkin paljon tärkeämpää oli "hei uskalsin yrittää, sain selvää taulukkokirjan ennalta tuntemattomasta kaavasta ja osasin sitä hyödyntää => voin opetella ja tutkia uusia juttuja itseksenikin" -tunteen luominen ja omaan kokeilemiseen ja yrittämiseen rohkaiseminen. Olisin tosin voinut laittaa ekan tehtävän ensin taululle ja rueta tekemään sitä oppilaiden kanssa ja sitten "huomata" että eihän tämä menekään tähänastisilla tiedoilla, no taulukkokirja esiin...

Annoin liian laajan tehtäväalueen (teht. 122-130) oppilaiden tehdessä tehtäviä. Olisi ollut parempi jos olisin valinnut tehtävät siten, että liiallinen toisto olisi minimoitu ja valituissa tehtävissä olisi ollut aina jotain uutta "twistiä".

Oma yleinen tuntumani oli, että tunti jotenkin laahasi osittain. Puhuin tietoisesti mahdollisimman selkeästi ja pitkiä taukoja pitäen siten, että oppilaille jäi enemmän aikaa miettiä ja seurata. Ehkä tämä teki laahaavan tunteen. Ohjaavat opettajat kuitenkin sanoivat ettei tunti heidän mielestään tuntunut laahaavalta ja että heidän mielestään puheeni oli selkeää, hyvin artikuloitua ja selkeästi tauotettua. Puheeni kuulemma loi turvallisen tunnelman.

Positiivista oli että vaikka olin ensimmäistä kertaa pitämässä tuntia kyseiselle ryhmälle, kyselivät oppilaat kysymyksiä ja tuntui etteivät ainakaan hirveästi pelänneet kysyä, mikä tietysti on tarkoituksenikin. Haluaisin saada luokassa aikaan keskustelevan ilmapiirin, kohdata oppilaita yksilöinä, ihmisinä ja tätä kautta rakentaa luottamusta.

Yksilöllinen kohtaaminen ja luottamuksen rakentaminen

Yleisesti ottaen näen opetuksessa erittäin tärkeänä oppilaiden yksilöllisen kohtaamisen ja luottamuksen rakentamisen. Samoin "opettele oppilaidesi nimet niin nopeasti kuin mahdollista ja puhuttele heitä nimeltä ilman istumajärjestystä" on mielestäni avainkonsepteja. Oppilaat vaistoavat välittääkö opettaja heistä aidosti ja haluaako oikeasti tukea ja auttaa heitä; mikäli kyllä, vaikuttaa tämä ymmärrykseni mukaan opiskelumotivaatioon merkittävästi.

Hankin Norssin albumin vain voidakseni nopeammin opetella oppilaideni nimet. Tilaisuuden tullen koetan myös jutella oppilaiden kanssa aivan muusta kuin matematiikasta, esim. (urheilu)harrastuksista, musiikista tai muusta luontevasta, jolla saan vähän kontaktia oppilaisiin ja selvitän mistä he ovat kiinnostuneet. Olen kokenut oppilaiden suhtautuvan tähän yleisesti ottaen positiivisesti, yhdessä viime vuoden lopulla saamassani 9.luokkalaisen palautekaavakkeessa mm. luki "puhuu muustakin kuin matikasta :)"

RKO:n MAV51, 4.-5.tunti, ti 10.1.06

Eilen oli Koposen Raimon MAV51-ryhmän (9.lkan valinnaisen matikan) kaksoistunti. Aiheena oli:

Muistikaavat

(a+b)(a-b) = a2 - b2
(a+b)2     = a2 + 2ab + b2
(a-b)2     = a2 - 2ab + b2

Työskentelystä

Laitoin oppilaat työskentelemään itse valituissa neljän hengen ryhmissä ja siirtämään pulpetit sen mukaisesti. Tämän jälkeen oppilaiden tehtävänä oli kirjan tehtävien ja taululle kirjoittamieni ohjeiden ja tehtävien avulla ryhmänä tai pareittain päästä kaksoistunnin aikana selvyyteen siitä miten muistikaavoja käytetään ja mitä hyötyä niistä voisi olla. Hyötyä on myöhemmin erityisesti "oikealta vasemmalle" mm. suoritettaessa polynomien tekijöiksi jakoa tai monimutkaisten, kuitenkin muistikaavojen mukaisten lausekkeiden sievennyksessä.

Tunti sujui mielestäni hyvin ja oppilaille jäi kaksoistunnin 90 minuutista yli 70 minuuttia itsenäiseen työskentelyyn.

Huonoja puolia ryhmätyöskentelystä tältä tunnilta

Kahdessa ryhmässä oli suuret ryhmän sisäiset erot oppilaiden taidoissa mikä aiheutti, että muutama oppilas oli jatkuvasti neuvojana. Aikansa neuvottuaan nämä oppilaat tyytyivät itsenäiseen työskentelyyn ryhmätyöskentelyn sijaan.

Vastaavasti hyviä puolia

Kun ryhmät tekivät yhteistyötä ja selvittivät ongelmia yhdessä, jäi minulle enemmän aikaa auttaa apua tarvitsevia. Oppilaat näyttivät mielellään keskustelevan tehtävistä ja auttavan toisiaan kunhan eivät kokeneet olevansa jatkuvasti vain antajan asemassa.

Sudokuja junassa

Tänään matkustin VR:n kantamana välin Jyväskylä-Tampere-Hyvinkää matkalla Nurmijärven naapuriin Rajamäelle.

Junassa vinosti käytävän toisella puolella istui kaksi tyttöä, jotka juttelivat värikkäästi jotain lehteä yhdessä selatessaan. Itse luin Marvin L. Lubenowin kirjoittamaa, Matti Leisolan suomeksi toimittamaa kirjaa nimeltä Myytti apinaihmisestä - kiista fossiilien ajoituksesta. Aikani luettuani kuulin tyttöjen hihkaisevan käytävän toiselta puolelta: "Hei täällä on Sudoku!"

Kuulin Sudokuista henkilökohtaisesti ensimmäisen kerran muutama kuukausi sitten opettajakoulutuksen ohjaavalta opettajaltani Erkki Saraselta. En kuitenkaan ollut aiheeseen juurikaan perehtynyt ja päätin käydä tyttöjä aiheesta jututtamassa.

Sain keskustellessani selville, että tytöt olivat 8.luokkalaisia ja että he olivat molemmat tutustuneet Sudokuihin koulussa. Niitä oli tehty mm. kemian ja matematiikan tunneilla. Kysyin olivatko Sudokut isokin villitys ja tytöt vastasivat myöntävästi. Kysyin ketkä kaikki Sudokuja tekevät, esim. tekevätkö vain ne jotka pitävät tai ovat hyviä matikassa. Vastaukseksi sain: "Meidän luokalla ainaki Sudokuja tekee kaikki." Kysyin tytöiltä ovatko he aiemmin harrastaneet esim. ristikoita tai kryptoja. Toinen oli, toinen ei...

Mikä Sudokuista tekee niin suosittuja että yläasteelaiset tekevät niitä vapaaehtoisesti? "Ne on mukavan haastavia ja aika menee nopeesti", totesivat tytöt. Mitä muuta innostukseen sisältyy, kuinka laajalle Sudoku-villitys on levinnyt?

RKO:n MAV51, 3.tunti, to 5.1.06

Tämänaamuinen Koposen Raimon MAV51-ryhmän (9.lkan valinnaisen matikan) tunti ei mennyt ollenkaan yhtä hyvin kuin tiistai-iltapäivän kaksoistunti. Tunnin suurimpana vikana oli luentomaisuus, oppilaat jäivät sivusta seuraajiksi kun puhuin itse liikaa. Tunnin alussa kävin dokukameralla läpi polynomialgebraan liittyviä käsitteitä kuten polynomi, polynomin termi, samanmuotoiset termit, monomi jne. Yritin saada oppilaat itse sanomaan määritelmät ohjaamalla heitä oikeaan suuntaan ja kysymällä kysymyksiä. Tästä huolimatta homma ei oikein ottanut luistaakseen ja tunnin alusta tuli raskas.

Noin tunnin puolivälissä annoin oppilaille tehtäväksi miettiä muutamia tehtäviä, mutten kuitenkaan antanut oppilaille tarpeeksi aikaa miettiä antamaani tehtävää sillä jo joidenkin minuuttien kuluttua jatkoin asiaa eteenpäin. Tämä todennäköisesti turhautti oppilaita huonon alun jälkeen vielä lisää.

Tunti oli asiasisällöltään myös liian vaativa oppilaille. Pääaiheena ollut useamman kuin kahden polynomin tulo jäi liian vähälle harjoittelulle, oppilaille ei jäänyt kuin n. 7 min kunnolliseen tehtävien laskemiseen mikä on liian vähän. Pitäisi olla mielellään 15-20 min.

Palautteessa Raimo totesi, että oppilailta menee tehtävien tekemiseen 5-10 kertaa niin kauan kuin itsellä. Tämä on hyvä mutusääntö ja liittyy Reinikan Leenan syksyllä toteamaan, tähän blogiin muistiin kirjoittamaani, muistisääntöön koetehtäviä laadittaessa: jos itseltä menee n. 5 min tehtävien tekemiseen, on koe ajankäytöllisesti todennäköisesti melko sopiva 7.-8.luokan kokeeksi. Nämä kahden eri ohjaavan opettajan muistisäännöt menevät melko hyvin yksiin :)