MA8, pitkän matikan integraalilaskenta, ti 17.1.06

Tänään pidin ensimmäisen kaksoistunnin Pietiläisen Raunon (RPI) lukion pitkän matematiikan integraalilaskennan kurssilla (MA8). Tunnin pääaiheena oli määräämättömän integraalin osittaisintegrointi ja sivuaiheena introsin myös sijoitusmenetelmällä integroimisen ja otin aiheesta yksinkertaisen esimerkin.

Ongelmalähtöinen aloitus

Kotitehtävien käsittelyn jälkeen pääsimme päivän aiheeseen. Annoin oppilaille tehtävän laskea määräämätön integraali x sin x:stä ja että taulukkokirjassa avainsana on "osittaisintegrointi". Kehoitin työskentelemään yksin, pareittain tai ryhmissä oman preferenssin mukaan. Oppilaat ryhtyivät työhön ja noin 10 minuutin työskentelyn jälkeen jokseenkin kaikki olivat saaneet tehtävän ratkaistua. Suuri osa oppilaista tosin teki f':n ja g:n valinnassa aluksi virheen, eli valitsivat:

f'(x) = x, jolloin f(x) = 0.5x2
g(x) = sin x, jolloin g'(x) = cos x

mutta nämä valinnat eivät helpota integrointia vaan johtavat uuteen osittaisintegrointitehtävään. Kun oppilaat kuitenkin huomasivat, osa vinkin jälkeen, osa ilman, valita seuraavasti:

f'(x) = sin x, jolloin f(x) = -cos x
g(x) = x, jolloin g'(x) = 1

helpottui tehtävän ratkaiseminen oleellisesti. Integrointitehtävän ratkaisunsa voi tietysti tarkistaa derivoimalla.

Osittaisintegrointi useamman kerran peräkkäin

Seuraavaksi käsittelin x2ex:n määräämättömän integraalin määrittämisen osittaisintegroimalla. Vaikka valitaankin fiksusti g(x) = x2 ja näin päästään "tiputtamaan x²:n potenssia" derivoimalla g(x):ää, joudutaan silti osittaisintegroimaan kaksi kertaa ennen ratkaisuun pääsemistä.

Hiukan tavallisesta poikkeava osittaisintegrointitehtävä

Seuraava tehtävä esitetään WSOY:n Matematiikan taito 8 -kirjan tehtävänä 129a. Tehtävä on mielestäni erittäin hyvä, koska se ei ole "tyypillinen" osittaisintegrointitehtävä. Tehtävä jääköön lukijalle harjoitustehtäväksi :)

Laske määräämätön integraali lausekkeelle: exsin x

Osittaisintegrointikaavan johtaminen

(Integrointivakio c voidaan sisällyttää jäljellä oleviin integroitaviin eikä sitä näinollen tarvitse merkitä osittaisintegroinnin kaavaan näkyviin.)

Palautekeskustelusta tunnin jälkeen

Oppitunnin jälkeen Pietiläisen Raunon (ohjaava opettajani) ja Kaartisen Sinikan (ainedidaktikkoni) kanssa käydyssä palautekeskustelussa tuli esille mm. seuraavaa:

Tunnin alun ongelmalähtöinen lähestyminen, jossa oppilaat laitettiin itse kokeilemaan ja käyttämään kirjallisuutta (MAOL:n taulukkokirjaa) lähteenään uuden konseptin sisältäneen tehtävän ratkaisemiseen onnistui hyvin. Koko ryhmä sai tehtävän tehtyä. Tärkeää oli osittaisderivoinnin oppiminen, mutta vielä tätäkin paljon tärkeämpää oli "hei uskalsin yrittää, sain selvää taulukkokirjan ennalta tuntemattomasta kaavasta ja osasin sitä hyödyntää => voin opetella ja tutkia uusia juttuja itseksenikin" -tunteen luominen ja omaan kokeilemiseen ja yrittämiseen rohkaiseminen. Olisin tosin voinut laittaa ekan tehtävän ensin taululle ja rueta tekemään sitä oppilaiden kanssa ja sitten "huomata" että eihän tämä menekään tähänastisilla tiedoilla, no taulukkokirja esiin...

Annoin liian laajan tehtäväalueen (teht. 122-130) oppilaiden tehdessä tehtäviä. Olisi ollut parempi jos olisin valinnut tehtävät siten, että liiallinen toisto olisi minimoitu ja valituissa tehtävissä olisi ollut aina jotain uutta "twistiä".

Oma yleinen tuntumani oli, että tunti jotenkin laahasi osittain. Puhuin tietoisesti mahdollisimman selkeästi ja pitkiä taukoja pitäen siten, että oppilaille jäi enemmän aikaa miettiä ja seurata. Ehkä tämä teki laahaavan tunteen. Ohjaavat opettajat kuitenkin sanoivat ettei tunti heidän mielestään tuntunut laahaavalta ja että heidän mielestään puheeni oli selkeää, hyvin artikuloitua ja selkeästi tauotettua. Puheeni kuulemma loi turvallisen tunnelman.

Positiivista oli että vaikka olin ensimmäistä kertaa pitämässä tuntia kyseiselle ryhmälle, kyselivät oppilaat kysymyksiä ja tuntui etteivät ainakaan hirveästi pelänneet kysyä, mikä tietysti on tarkoituksenikin. Haluaisin saada luokassa aikaan keskustelevan ilmapiirin, kohdata oppilaita yksilöinä, ihmisinä ja tätä kautta rakentaa luottamusta.

Yksilöllinen kohtaaminen ja luottamuksen rakentaminen

Yleisesti ottaen näen opetuksessa erittäin tärkeänä oppilaiden yksilöllisen kohtaamisen ja luottamuksen rakentamisen. Samoin "opettele oppilaidesi nimet niin nopeasti kuin mahdollista ja puhuttele heitä nimeltä ilman istumajärjestystä" on mielestäni avainkonsepteja. Oppilaat vaistoavat välittääkö opettaja heistä aidosti ja haluaako oikeasti tukea ja auttaa heitä; mikäli kyllä, vaikuttaa tämä ymmärrykseni mukaan opiskelumotivaatioon merkittävästi.

Hankin Norssin albumin vain voidakseni nopeammin opetella oppilaideni nimet. Tilaisuuden tullen koetan myös jutella oppilaiden kanssa aivan muusta kuin matematiikasta, esim. (urheilu)harrastuksista, musiikista tai muusta luontevasta, jolla saan vähän kontaktia oppilaisiin ja selvitän mistä he ovat kiinnostuneet. Olen kokenut oppilaiden suhtautuvan tähän yleisesti ottaen positiivisesti, yhdessä viime vuoden lopulla saamassani 9.luokkalaisen palautekaavakkeessa mm. luki "puhuu muustakin kuin matikasta :)"