MA8, pitkän matikan integraalilaskenta, to 19.1.06

Tänään kaksoistunnin aiheena oli "Pinta-ala ja määrätty integraali". Tärkeitä käsitteitä mm.:

• porraskuvioapproksimaatio
• porrassumma
• pinta-ala porrassummien raja-arvona
• ala- ja ylä(porras)summa
• välin jako

Käsittelyssä ei siis vielä ollut integraalifunktion ja määrätyn integraalin välinen yhteys pinta-alatulkintana F(b)-F(a) integroitaessa funktiota f välillä [a, b], vaan ideointi siitä kuinka tasokuvioista muun kuin monikulmion alaa ylipäätään voitaisiin arvioida sellaisten tasokuvioiden avulla joiden pinta-alat osataan laskea. Päätin toteuttaa hiukan "tavallisesta" oppitunnista poiketen laittamalla oppilaat itse keksimään ja ideoimaan ryhmissä. (ks. tutkimusmoniste)

Kotitehtävien tarkistaminen

Otin oppitunnin alussa jaon niin, että muodostui 3-4 hengen ryhmiä. Kun jaon mukaisiin ryhmiin oli siirrytty, kehoitin opiskelijoita käymään kotitehtävät ryhmässään läpi vapaasti aiheesta keskustellen tavoitteena että jokainen ryhmäläinen saa kotitehtävien ideoista peruskäsityksen. Kirjoitin taululle lisäksi muutaman lisätehtävän ja kehoitin opiskelijoita miettimään niitä mikäli luppoaikaa läksyjen tarkistamisessa jää. Kiertelin luokassa ja työskentely sujui hyvin: opiskelijat keskustelivat, kyselivät, kyseenalaistivat ja perustelivat. Selittivät läksytehtäviä omin sanoin. Juuri tällaista matematiikan tulisikin olla. Matematiikan kielellistämisestä, omin sanoin selittämisestä on varmasti hyötyä oppimisen kannalta. (Valitettavasti en tähän hätään osaa siteerata yhtään tutkimusta aiheesta, mutta tiedän että asiaa on tutkittu.)

Ideointi ryhmissä: kuinka yleisen tasokuvion alaa voisi arvioida?

Kun ryhmät olivat käyneet kotitehtävät läpi, katsoimme dokukameralla oppikirjan (Matematiikan taito 8, WSOY, vuoden 2000 painos) s. 40 alkupalat 1 ja 2. Ensimmäisessä kysytään kuinka suuri on suoran y = 0.5x + 1 ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala välillä 0 ≤ x ≤ 4? Toisessa oli pylväsdiagrammi erään yrityksen tuloksesta viitenä peräkkäisenä vuotena. Kahtena vuonna viidestä, oli tulos ollut tappiollinen. Tämä antoi oppilaille (ehkä tiedostamattakin) ajatuksen siitä, että x-akselin alapuolinen pinta-ala on sovittu käsiteltäväksi negatiivisena.

Yllä mainittujen esimerkkien lyhyen tutkimisen ja keskustelun jälkeen jaoin oppilaille tutkimusmonisteet ja päästin heidät ryhmissä töihin. Arvioin alunperin aikaa monisteen tekemiseen tarvittavan noin 40-45 minuuttia, mikä pitikin jokseenkin hyvin paikkansa. Työskentelyn aikana sekä minä että ohjaava opettajani RPI kiertelimme luokassa ja autoimme opiskelijoita tarvittaessa. Opiskelijoiden keskusteluja oli erittäin mukava seurata, jopa luontaisia pieniä väittelyjäkin syntyi.

Ryhmien saatua tutkimusmoniste läpikäytyä käytimme viimeiset 25 minuuttia harjoitustehtävien tekemiseen ja lisäksi kysyin tunnin lopuksi opiskelijoilta palautetta tämäntyylisestä työskentelystä. Tässä otteita palautteesta:

Otteita opiskelijoiden tuntemuksista tunnin lopulla

Tässä opiskelijoiden palautteissa esille tulleita näkökulmia, osa on suoria sitaatteja, osa koottuja, palautteiden pohjalta itse kirjoittamiani lauseita. Suorat sitaatit on merkitty lainausmerkein.

Negatiivista

• Ajankäyttö on hankalaa ryhmissä.
• Olisi voitu ehkä laskea kauemmin niin olisi päässyt paremmin sisälle aiheeseen ja ymmärtänyt jutut paremmin.
• Asiat ois voinu tajuta helpommallakin tavalla ja nopeemmin.
• ...mutta oikeastaan OIKEA oleellisen oppiminen oli todella vähäistä.
• Epäselväksi jäi vielä että miten tämä kaikki liittyi aiemmin opittuun.

Positiivista

• Tunti meni todella nopeasti ja oli hauskaa. Opin kuitenkin aika paljon (vaikka välillä olikin vähän toivoton olo).
• Hyvä kun ope kiertelee katselemassa ja kyselemässä.
• Tunnilla oli hyvää se että asioita joutui oikeasti miettimään itse.
• Hyvä kun voi itse tajuta asioita pienillä vinkeillä.
• Tunti oli rento, ryhmässä helpompi mietiskellä kuin yksin.

Ajatuksia palautekeskustelusta ohjaavan opettajan kanssa

• Tunnilla oli rento ilmapiiri ja oppilaat uskalsivat kysellä ja keskustella :)
• Kuvallista, verbaalia ja symboolista - kaikkia näitä esitys-/havainnollistustapoja tulisi käyttää joka tunnilla.
• Oppilaiden puhuttelu heidän etunimillään on luokkailmapiirin luonnissa erittäin tärkeätä.
• Koulumatikassa historiallinen "konkreetista abstraktiin" tapahtunut matemaattisten käsitteiden alkuperäinen kehittäminen jää oppilaille usein epäselväksi ja matematiikan tutkiva luonne ei välttämättä välity oppilaalle.

Tiedostoja

• Tuntisuunnitelma
• Opiskelijoille jakamani tutkimusmoniste
• Opiskelijoiden autenttiset palautteet kaksoistunnista [osa 1]
• Opiskelijoiden autenttiset palautteet kaksoistunnista [osa 2]