Osittaisderivaatan käsittelyn aloitus abeille

Pidin tänään aamulla 8:00-9:30 tunnin ESA:n Analyysi-kurssilla aiheesta osittaisderivointi. Oppikirjana kurssilla on käytössä WSOY:n Pitkä matematiikka -sarjan Analyysi-kirja (J. Kangasaho, J. Mäkinen, ...), jossa asia löytyy sivuilta 119-128.

Keksin tunnin aiheen havainnollistamiseen seuraavan idean: tein raidallisesta pyyhkeestä pulpettien päälle kirjan s.119 kuvaa suurin piirtein vastaavan kolmiulotteisen pinnan käyttämällä apuna t-paitoja ja sukkia. Laitoin pyyhkeen raidat x-akselin suuntaisesti ja tein tauluharpista xy-koordinaatiston ja kysyin oppilailta "Missä tässä on z-akseli?" (suoraan ylöspäin).

Minulla oli lisäksi kaksi LEGO-ukkoa, joista toiselle olin askarrellut murtomaahiihtosukset ja toinen ukko toimi valmentajana. Hiihtäjä hiihti x- ja y-akselien suuntaisesti pitkin pyyhepintaa ja valmentaja tarkasteli tilannetta sivusta katsoen millaista (yksiulotteista) käyrää hiihtäjä "piirtää". Hiihtäjän sukset kuvaavat osittaisderivaattaa x-askelin (vast. y-akselin suhteen) eli kun hiihdetään x-akselin (vast. y-akselin) suuntaisesti pysyy y-akselin (vast. x-akselin) arvo vakiona ja muodostuva käyrä on tavallaan yhden muuttujan funktio.

Itsearvio tunnista 12.12.05 palaveria varten

Toteutuivatko tunnin tai projektin tavoitteet?

a) Omalta kannaltani b) Oppilaiden oppimisen osalta. Kuinka tiedät sen?

Vaikka olinkin tehnyt paljon valmistelu- ja suunnittelutyötä tuntia varten, ei tunti aivan kaikistellen mennyt suunnitelmien mukaan. Palasin pyyhkeellä luomaani pintaan muutaman kerran turhaan varsinaiseen teoria-asiaan siirryttyäni. Muutamia kertoja myös sekoilin suuntien kanssa: sanoin että "kaveri hiihtää x-akselin suuntaisesti" ja hiihdätin ukkoa kuitenkin y-akselin suuntaisesti. No, pieniä virheitä sattuu, yleisesti ottaen olen tuntiin tyytyväinen.

Oppilaiden osalta tavoitteet olivat että oppilaat saisivat peruskäsityksen / -ajatuksen kahden muuttujan funktioiden osittaisderivoinnista ja toimenpiteen geometrisesta ideasta (pyyhe-esimerkki) sekä perusidean ja yhtäläisyydet kahden muuttujan funktioiden mahdollisten ääriarvopisteiden ja ääriarvojen tutkimisesta. Laskuharjoitteluaikaa oppilaille jäi noin 30 min tunnin lopussa.

Vaikka pyyhe-esimerkki oli oppilaiden mielestä ollut hyvä (kysyin kommentteja tunnin jälkeen ja tämä nousi esille), eivät kaikki silti meinanneet päästä laskuissa ideaan mukaan eli että toinen muuttujista x ja y pysyy vakiona ja toinen vain muuttuu ja siis että derivoitaessa vakiona pysyvä x tai y on derivoinnin suhteen kirjaimellisesti vakio ja käsitellään derivoitaessa kuten vakiota yleensäkin.

Mitä oppilaat todella tekivät? Kuinka innokkaasti he työskentelivät?

Vastasiko työskentely ennakko-odotuksiasi? Olivatko kaikki oppilaat mukana? Tapahtuiko eriytymistä? Olitko varautunut siihen? Miten toteutui?

Oppilaat olivat kiinnostuneesti mukana aloittaessani pinnan havainnollistamisen pyyhkeellä ja nauroivatkin hiukan, mikä oli tavoitteenikin, tuoda hiukan huumoria helposti niin teoreettiseen asiaan. Asiaan keskittyminen vei lähes kaiken keskittymiskykyni enkä osaa sanoa olivatko kaikki oppilaat kunnolla mukana. Välillä innostuin selittämään liikaa ja minusta tuntuu, että tällöin ainakin osa oli omissa ajatuksissaan. Eriyttäminen mahdollistui oikeastaan vasta harjoitustehtäviä tehtäessä, jolloin oppilaat saivat edetä omaan tahtiin.

Millaisia tietoja, taitoja ja asenteita oppilaat oppivat?

Onko mahdollista erottaa ne tiedot ja taidot, jotka kehittyivät työskentelyn aikana?

Toivoisin, että oppilaille jäi mielikuva siitä että jopa lukion abikurssien asioita on mahdollista havainnollistaa hyvin yksinkertaisilla apuvälineillä kuten pyyhkeellä, t-paidoilla ja LEGO-ukoilla. Tavoitteenani on myös opettaessani luoda avoin ja kannustava oppimisilmapiiri, jossa virheet eivät leimaa oppilasta vaan ovat olennaisia oppimisen ja ymmärtämisen kannalta. Oppilaiden yksilöllinen kohtaaminen ja luottamuksen rakentaminen ovat mielestäni tärkeitä ja toivon, että onnistuin tämän myös oppilaille sanattoman viestintäni kautta välittämään.

Kuinka onnistuineita olivat valitsemasi menetelmät? Muuttaisitko niitä?

Mitä didaktisia menetelmiä käytit? Arvioi, mitä mahdollisten muiden menetelmien käyttäminen olisi vaikuttanut itse prosessiin.

Tunti oli jokseenkin perinteinen kyselevän opetuksen mallin mukainen tunti, ja tunnin lopussa oppilaat laskivat harjoitustehtäviä. Vaikkakin parannettavaa on aina, sopi lopputunnin toteutus mielestäni tuntiin. Muiden kuin kyselevän opetuksen käyttäminen veisi kyseisessä, oppilaille todennäköisesti vaikeassa asiassa huomattavasti enemmän aikaa. Lukion abivuonna viimeistään on opiskelijoiden totuttava siihen, että käydään läpi perusideat ja suuret linjat ja tämän jälkeen ymmärrys ja osaaminen lopullisesti rakentuvat itse tehtäviä ratkaisemalla ja ratkaistaessa eteen tulevia ongelmatilanteita kysellen ja lähdekirjallisuutta lukien selvittämällä. Matematiikkaa oppii tekemällä.

Kuinka sopivia olivat käyttämäsi välineet ja materiaalit? Muuttaisitko niitä?

Mitä välineitä käytin? Millaisia välineitä käyttäisin ideaalitilanteessa?

Osittaisderivaatan havainnollistamisen ideaan olin erittäin tyytyväinen siitäkin huolimatta etten aivan täysin onnistunut alkuperäistä ideaani inspiroivimmalla mahdollisella tavalla toteuttamaankaan. Tätä esimerkkiä aion käyttää myöhemminkin mikäli sille tarvetta on.

Opetustapahtuman ja oppilaiden oppimisen arviointi

1. Oppimisprosessin arviointia opettajan näkökulmasta. Miten?
2. Opettajan toiminnan arviointia. Miten?
3. Arvioivatko oppilaat toimintaansa? Miten?

Mitä aion tehdä tämän itsearvioinnin tuloksena?

Mitä vaikutusta tällä on välittömästi seuraaviin oppitunteihin, niiden suunnitteluun, toteutukseen ja arviointiin?

Aion jatkossakin käyttää pyyhettä tai vastaavaa kolmiulotteisen pinnan havainnollistamiseen. En ole mitään oppituntia valmistellut yhtä paljon kuin tätä kaksoistuntia valmistelin. Tekemäni tuntisuunnitelma toimii hyvänä muistin ja esimerkkinä tukena tulevia oppitunteja suunnitellessani ja myöhemmin työelämään siirtyessäni.

Millaista keskustelua tai yhteistyötä sinulla on ollut opiskelijatovereiden kanssa ennen/jälkeen oppitunnin?

Kaivosojan Heta oli katsomassa kyseistä tuntia ja otti myös muutamia videopätkiä digikamerallani. Heta opettaa samaa asiaa MHA:n vastaavassa ryhmässä kahden päivän päästä ja juttelimme ideoista. Heta sanoi pitäneensä pyyhe-esimerkistä.

Lisähuomioita ja kommentteja