Tehtävä jalkapallon viisi- ja kuusikulmioiden määrästä

Kuukaus tai pari sitten Kaartisen Sinikan pääainematikan opettajademon päätteeksi rakennettiin niistä joistain kolmiulotteisten kappaleiden rakennuspalikoista halkaisijaltaan n. 50cm kokoinen "jalkapallo" Rautiaisen Mikon, Kaivosojan Hetan ja Kalliokosken Suvin kanssa. Mukana oli lisäksi ainakin didaktikkomme Sinikka ja ehkä muitakin, mutten valitettavasti muista varmaksi. (Mikäli olit projektissa mukana ja satut lukemaan tätä, mainitse mulle asiasta niin lisään nimesi listaan :)

Eilen alkuiltapäivästä meidän Hanna, Turusen Päivi ja Aku ja minä istuttiin Kuopiossa porukoiden olohuoneessa ja juteltiin. Minä ja Aku heiteltiin samalla pientä pehmeää "jalkapalloa" edestakaisin huoneen poikki.

Otin pallon yhdessä vaiheessa käteeni ja laskin viisikulmioiden määrän ja huomasin sen olevan 12. Rupesin manuaalisesti (1-2-3-tyyliin) laskemaan kuusikulmioiden määrää, mutta niiden määrä oli vaikeampi laskea, sormet kun loppuivat kesken ;) Rupesin sitten miettimään voisinko jotenkin päätellä kuusikulmoiden määrän. (Tämän laskemiseen on varmaan joku hyvä kaava, mutta ei tullut heti mieleen, joten päätin vain tarkastella palloa ja yrittää päätellä.)

Tehtävät

Tämän pohjalta muotoilin kaksi tehtävää, joista ensimmäinen tulikin jokseenkin jo kuvailtua edellä. Jälkimmäinen tehtävä on astetta vaikeampi, mutta kuten tehtävänannoista on ilmeistä, ei oppilaalle mielekkäästi voi kerralla antaa tehtäväksi kuin jomman kumman näistä kahdesta:

1. Jalkapallossa on 12 säännöllistä viisikulmiota. Päättele säännöllisten kuusikulmoiden määrä palloa tai sen kuvaa katsomalla.
2. Jalkapallossa on 20 säännöllistä kuusikulmiota. Päättele säännöllisten viisikulmioiden määrä palloa tai sen kuvaa katsomalla.

Ratkaisut

Tehtävä #1

Koska viisikulmioita on 12 kpl, on viisikulmion sivuja yhteensä 12*5 = 60 kpl. Jokainen kuusikulmio "kuluttaa" kolme viisikulmion sivua. Koska jokainen viisikulmion sivu täytyy tulla "kulutetuksi", on kuusikulmioita oltava 60/3 = 20 kpl.

Tehtävä #2

Koska kuusikulmoita on 20 kpl, on kuusikulmion sivuja yhteensä 20*6 = 120 kpl. Vain puolet kuusikulmioiden sivusta ovat liitettyinä viisikulmioihin, joten viisikulmioihin liitettyjä kuusikulmion sivuja on 120/2 = 60 kpl. Jokaisen viisikulmion jokainen sivu on liitettynä kuusikulmioon, joten jokainen viisikulmio "kuluttaa" viisi kuusikulmion sivua. Koska "kulutettavia" kuusikulmion sivuja on edellä esitetyn perusteella 60, on jalkapallossa viisikulmioita 60/5 = 12 kpl.

Tehtävien tekoa varten...

(kuvan lähde / image source:
http://www.cadcourse.com/winston/SoccerBall.html)

Lisäys 30.3.2007, jalkapallon ja ikosaedrin yhteys

Jalkapallo on itseasiassa ikosaedri (engl. icosahedron), jonka kärjet on leikattu, englanniksi ilmaistuna "truncated icosahedron".

Funktioiden ja yhtälöryhmien konkretisoimisesta

Eilen illalla tulin porukoiden kyydissä Jyväskylästä Kuopioon. Äitini on yläkoulun kotitalousopettaja ja oli hiljattain käytävällä kuullut joidenkin 9.luokkalaisten kommentoivan etteivät kunnolla ymmärrä funktioita ja yhtälöpareja ja että "Mitä hyötyä nuista muka mulle ikinä on?!?"

Funktio - mihin sitä tarvitsen?

Rupesin sitten siinä autossa istuessani miettimään kuinka funktion käsitteen voisi tuoda mahdollisimman konkreettiseksi tai keksiä sellaisen esimerkin, jossa oppilas selvästi näkee että hänen oikeasti tarvitsee ymmärtää funktio-ajattelua.

Keksin seuraavan lähestymistavan: Oppilaat laitetaan (esim. jonkun projektin osana mikäli mahdollista) laatimaan taulukkolaskentaohjelmalla jokin taulukko, jossa joutuisi laskemaan esim. koontitietoja kuten keskiarvoja tai vaikkapa laskemaan erilaisten kappaleiden pinta-aloja syötettyjen mittojen perusteella. Tällöin oppilas tavallaan joutuisi kirjoittamaan funktioiden määrittelyitä kirjoittaessaan laskentakaavoja taulukkolaskentaohjelman soluihin. Sopivan teoriapohjustuksen kanssa arvelisin tällaisen toiminnan valaisevan funktion käsitettä paremmin kuin oppikirjoissa usein esitettävät piirrokset "funktio-koneista", joihin syötetään jotain ja sitten ne palauttavat jotain muuta ulos.

Oppilaiden motivaation kannalta olisi erittäin hyvä ettei opettaja sanelisi "tehkää nyt tällainen taulukko" vaan että oppilaat itse saisivat suunnitella taulukkonsa ja sen mitä siinä lasketaan. Opettaja joutuu tietysti antamaan jonkinlaisen ohjeistuksen, jotta tavoitteisiin on mahdollista päästä. Mikäli asiaa ei voida mielekkäästi sitoa minkään projektin yhteyteen, voisivat taulukot liittyä mahdollisimman läheisesti oppilaiden arkeen kuten kännykän käyttöön tai operaattoreiden väliseen hintojen vertailuun, henkilökohtaiseen budjetin ja rahankulutuksen seurantaan esim. yhden viikon ajalta...en keksi parempia ideoita tähän hätään...

Kun funktio-ajattelu alkaa luonnistua, voisi oppilaille antaa taulukkomuodossa funktioiden arvoja tietyille syötteille ja oppilaan tehtävänä olisi yrittää keksiä funktio f(x), joka toteuttaa annetut ehdot.

Myöhemmin voisi pyytää oppilaita itse määrittelemään funktion käsitteen. Kun oppilas joutuu itse omien havaintojensa ja käsitystensä pohjalta määrittelemään jotain, vaatii tämä paljon ajattelua ja aktivoi oppilasta miettimään itse. Syksyn harjoitteluissa yksi ohjaavista opettajistani, Leena Reinikka, totesi useampaan kertaan: "Oppilaat halutaan saada ajattelemaan."

Yhtälöryhmistä

Yhtälöryhmistä en keksinyt automatkan aikana (enkä vielä tähän hetkeenkään mennessä) mitään 9.luokkalaisen arkeen kiinteästi liittyvää havainnollistusta. Ysiluokalla käsitellään kahden muuttujan, kahden yhtälön lineaarisia yhtälöryhmiä. Kyseessä on siis käytännössä kaksi suoraa, joiden leikkauspisteestä ratkaisu löytyy (mikäli leikkauspiste on olemassa eli suorat eivät ole yhdensuuntaiset). Tätä aihetta täytyy vielä kehitellä jo siksikin, että tulevan tammikuun loppupuolella pidän Elina Kuulan 9.luokkalaisille tunteja mm. juuri yhtälöryhmistä.

Mielikuvaoppimisesta

Hetki sitten löysin Kuopion yliopiston YLE Radio Kantin sivuilta 25.5.2001 nauhoitetun, mielikuvaoppimista käsittelevän haastattelun, jossa mm. äitini on haastateltavana. Haastattelun otsikkona on "Mielikuvaoppimisella opiskelusta tulee kiinnostavaa".

Suora linkki haastatteluun (RealAudio)

Sarasen Erkin 9B:n matikan tunneista 1.-12.12.05

Tämän syksyn viimeiset harjoitustunnit pidin Sarasen Erkin (Norssi/JKL) 9B-ryhmälle aiheista lieriö, kartio ja niiden tilavuus ja pinta-ala. Pidin yhteensä neljä tuntia (1.12., 2.12., 5.12. ja 8.12.), joista jälkimmäiset kaksi puoliksi Hämäläisen Sepon kanssa. Tämän lisäksi olin auttamassa kahdella tunnilla (9.12. ja 12.12.).

Ennen ko. opetusjakson alkua olin juuri hankkinut itselleni Norssialbumin, jossa on jokaisen yläkoulun ja lukion oppilaan sekä henkilökunnan nimet ja kuvat. 30.11. illalla ennen ensimmäistä tuntia ehdin opetella suurimman osan oppilaista nimeltä kuvien perusteella. Kun sitten seuraavana päivänä pidin ensimmäistä tuntia ryhmälle, pyysin oppilaita aina sanomaan ensin nimensä ja sitten vastauksensa. Koska olin jo nimet lyhytmuistiini lukenut, oli tunnilla paljon helpompi sitten muistaa oppilaiden nimet näiden kerrottuaan ensin nimensä ja täten pystyin puhuttelemaan oppilaita nimillä jo ensimmäisellä tunnilla.

Olen miettinyt oppilaiden nimeltä puhuttelemisen merkitystä opetuksen mielekkyyden ja tuntien sujuvuuden kannalta tämän syksyn aikana silloin tällöin. Olen myös jutellut asiasta mm. kotitalousopettaja-äitini ja opettajaopiskelukavereideni kanssa. Kun tekee parhaansa oppiakseen jokaisen oppilaansa nimen ja tämän seurauksena kykenee puhuttelemaan oppilaitaan nimeltä, uskon tämän vaikuttavan positiivisesti; oppilas kokee olevansa merkityksellinen opettajan käyttäessä oikeaa nimeä sen sijaan että sanoisi "hei sinä siellä" tai että katsoo aina vain istumajärjestyksestä.

Palautetta oppilailta

Harjoittelujakson lopuksi, maanantaina 12.12.05, pyysimme Sepon kanssa oppilailta kirjallista palautetta oppitunneista. Annoimme nimettömänä täytetyt palautekaavakkeet kotiin täytettäväksi ja pyysimme palauttamaan ne seuraavalla matematiikan tunnilla, torstaina 15.12. Kukin oppilas täytti kaksi palautekaavaketta, yhden Sepolle, yhden minulle. Tässä muutamia sitaatteja oppilaiden minulle kirjoittamasta palautteesta:

Risuja:

• "Matikka on ihan helppoa, mutta kun asioita jankataan niin paljon, niin tylsistyy."
• "Ei se [matikka] aina ole tylsää ja vaikeaa, mutta tunneilla voisi olla muutakin kuin pelkkää kirjasta laskemista esim. pelejä tai pulmakortteja"
• "Itse vihaan kaikkia vitsailevia opettajia, mutta muista en tiedä. Vitsailu voi viedä huomion opiskelusta liiaksi ja aiheuttaa juttelua."
• "edetään kauheen nopeasti"
• "[Työrauha on] hyvä, vaikka välillä puhutaankin, ja aina ei puhuta ihan muusta, joskus saatetaan puhua ihan aiheesta, vaikka aina valitetaankin."
• "oli ihan mukavia tunteja, mutta välillä tuli liikaa läksyjä"
• "Ps. Lisää viivoja seuraavaan palautelappuun!"

Ruusuja:

• "Osaat opettaa hyvin! Huumoria löytyi, ei tunnit muuttunut tavallisen tylsiksi"
• "Luokka suhtautui myönteisesti opetukseesi ja saatin myös tuloksia aikaan."
• "Huumori saa myös vähemmän matikasta pitävät kiinnostumaan opetuksesta"
• "[opettaja] vaikuttaa ihan hauskalta, kaikki saavat apua tarvittaessa, eikä ketään suosita"
• "olit opettaessa miellyttävä ja autoit apua tarvitsevia"
• "[opettaja on] iloinen ja juttelee muustakin kuin matikasta!"
• "tunnit olivat rentoja"
• "Olen huono matikassa mutta sinun jälkeesi olo on kuin Einsteinilla"
• Opetus oli selkeää ja tunnit menivät yllättävän nopeasti. Paras matikan harjoittelija tähän mennessä!"

Oppilaiden arvioita omasta toiminnastaan ja oppimisestaan:

• "Opin uudet asiat hyvin. Voisin ehkä välillä keskittyä tunneilla enemmän."
• "Joskus ehkä tulee juteltua kavereitten kanssa, muuten [työrauha on] mielestäni hyvä."
• "Olen huono matikan pulmissa, mutta kehityn aina :)"
• "Yleensä matikan harjoittelijoilta ei opi paljon mitään, mutta nyt tajusin asiat!!"
• "Opin tällä kurssilla eniten, yhtään liioittelematta"

Ryhmäytymisleikkejä

Ritva-Liisa Järvelän OPEA210:n tietotekniikan 30.11.05 pääainedemoon oli tehtävänä selvittää/miettiä/keksiä erilaisia tapoja/leikkejä/pelejä, joita voisi käyttää pihalla tai jopa sisällä, ryhmähengen luomiseen/parantamiseen. Tässä muutamia, ei itse keksimiäni, mutta mieleen tulleita mahdollisuuksia:

Käsihässäkkä => ympyrä käsi kädessä

Tälle varmaan on joku hyvä suomenkielinen nimi, mutta ainakaan tällä hetkellä en keksi parempaa nimeä kuin "käsihässäkkä". Idea on seuraava:

1. Tarvitaan mielellään n. 8-15 ihmistä.
2. Mennään pieneen, tiiviiseen ympyrään, jokainen sulkee silmänsä ja laittaa kätensä piirin keskelle siten, että omien käsien kyynärvarret menevät ristiin, esim. oikea kyynärvarsi kulkee oman vasemman kyynärvarren yli tai päinvastoin.
3. Tämän jälkeen silmien pysyessä kiinni etsii jokainen henkilö molemmalle kädelleen kättelyotteeseen jonkun toisen piirissä olevan henkilön käden.
4. Kun jokaisella on molemmissa käsissään kättelyotteessa jonkun muun piiriläisen käsi, avataan silmät.
5. Tehtävänä on nyt saada syntynyt käsihässäkkä avattua niin, että lopulta muodostuu ympyrä. Vaikka käsiä saa tarvittaessa kääntää pois normaalista kättelyotteesta, ei otetta kaverin kädestä saa kuitenkaan missään vaiheessa irrottaa.

Riippuen muodostuvasta hässäkästä, ei ympyrän muodostaminen otteita irrottamatta aina ole mahdollista esim. jos muodostuu kaksi erillistä, toisissaan kiinni olevaa "rengasta". Usein ympyrän muodostaminen kuitenkin onnistuu vaikka aluksi tuntuukin mahdottomalta...

Peli on kaikkinensa ehdottomasti hauska ja vaatii ryhmätyöskentelyä ja joukkuehenkeä.

Ympyrään istuminen

Tarvitaan mielellään vähintään 15-20 ihmistä, mitä suurempi määrä sen parempi. Ideana on että koko lössi muodostaa seisaaltaan tiiviin ympyrän, jossa jokaisen rintamasuunta on ympyrän kehän tangentin suuntainen ts. jokainen suurinpiirtein katsoo ympyrässä seuraavana olevan henkilön pään suuntaan. Kun kuvatunlainen ympyrä on muodostettu, istuu koko porukka yhtä aikaa alas jolloin oikein tehtynä kukin istuu takanaan olevan syliin. Onnistuessaan jokainen voi aivan normaalisti istua takana olevan sylissä jokseenkin koko painollaan, ympyrä pysyy kasassa ja jokaiselle on "tuoli" vaikka yhtään tuolia ei käytettykään ;)

Parrun päällä pituusjärjestykseen

Tämän idean kuulin Jyväskylän yliopiston opettajankoulutuslaitoksella 13.4.2005 aiheesta "Outdoor Activities" luennoimassa käyneeltä Tim Jepsonilta (University of Wales at Βangor). Idea on hyvin yksinkertainen: porukka seisomaan jonkun tukevan parrun, betonireunuksen tai muun vastaavan, n. 15 cm leveän, hiukan maan pintaa ylempänä olevan tason/liuskan päälle satunnaiseen järjestykseen. Tämän jälkeen on tarkoituksena saada koko porukka pituusjärjestykseen, ilman että kukaan putoaa tasolta jolla seisotaan. Peliä voi tietysti modifioida esim. käskemällä joukkoa järjestymään pituusjärjestyksen sijasta ikäjärjestykseen tai muuta vastaavaa.

Ikäjärjestykseen puhumatta

Melko samanlainen kuin edellä mainittu, mutta tehtävänä järjestyä esim. ikäjärjestykseen (vanhin ensin, helpompi "tarkistaa" kuin nuorin ensin, mieti miksi)...kuitenkin niin, että puhuminen, huulilta lukeminen ja esim. maahan kirjoittaminen on kielletty. Tässä ei siis tarvitse olla parrun päällä kuten edellisessä...tosin lisää vaikeutta sillä kyllä saa huomattavasti, ehkä vähän liikaakin.

Osittaisderivaatan käsittelyn aloitus abeille

Pidin tänään aamulla 8:00-9:30 tunnin ESA:n Analyysi-kurssilla aiheesta osittaisderivointi. Oppikirjana kurssilla on käytössä WSOY:n Pitkä matematiikka -sarjan Analyysi-kirja (J. Kangasaho, J. Mäkinen, ...), jossa asia löytyy sivuilta 119-128.

Keksin tunnin aiheen havainnollistamiseen seuraavan idean: tein raidallisesta pyyhkeestä pulpettien päälle kirjan s.119 kuvaa suurin piirtein vastaavan kolmiulotteisen pinnan käyttämällä apuna t-paitoja ja sukkia. Laitoin pyyhkeen raidat x-akselin suuntaisesti ja tein tauluharpista xy-koordinaatiston ja kysyin oppilailta "Missä tässä on z-akseli?" (suoraan ylöspäin).

Minulla oli lisäksi kaksi LEGO-ukkoa, joista toiselle olin askarrellut murtomaahiihtosukset ja toinen ukko toimi valmentajana. Hiihtäjä hiihti x- ja y-akselien suuntaisesti pitkin pyyhepintaa ja valmentaja tarkasteli tilannetta sivusta katsoen millaista (yksiulotteista) käyrää hiihtäjä "piirtää". Hiihtäjän sukset kuvaavat osittaisderivaattaa x-askelin (vast. y-akselin suhteen) eli kun hiihdetään x-akselin (vast. y-akselin) suuntaisesti pysyy y-akselin (vast. x-akselin) arvo vakiona ja muodostuva käyrä on tavallaan yhden muuttujan funktio.

Itsearvio tunnista 12.12.05 palaveria varten

Toteutuivatko tunnin tai projektin tavoitteet?

a) Omalta kannaltani b) Oppilaiden oppimisen osalta. Kuinka tiedät sen?

Vaikka olinkin tehnyt paljon valmistelu- ja suunnittelutyötä tuntia varten, ei tunti aivan kaikistellen mennyt suunnitelmien mukaan. Palasin pyyhkeellä luomaani pintaan muutaman kerran turhaan varsinaiseen teoria-asiaan siirryttyäni. Muutamia kertoja myös sekoilin suuntien kanssa: sanoin että "kaveri hiihtää x-akselin suuntaisesti" ja hiihdätin ukkoa kuitenkin y-akselin suuntaisesti. No, pieniä virheitä sattuu, yleisesti ottaen olen tuntiin tyytyväinen.

Oppilaiden osalta tavoitteet olivat että oppilaat saisivat peruskäsityksen / -ajatuksen kahden muuttujan funktioiden osittaisderivoinnista ja toimenpiteen geometrisesta ideasta (pyyhe-esimerkki) sekä perusidean ja yhtäläisyydet kahden muuttujan funktioiden mahdollisten ääriarvopisteiden ja ääriarvojen tutkimisesta. Laskuharjoitteluaikaa oppilaille jäi noin 30 min tunnin lopussa.

Vaikka pyyhe-esimerkki oli oppilaiden mielestä ollut hyvä (kysyin kommentteja tunnin jälkeen ja tämä nousi esille), eivät kaikki silti meinanneet päästä laskuissa ideaan mukaan eli että toinen muuttujista x ja y pysyy vakiona ja toinen vain muuttuu ja siis että derivoitaessa vakiona pysyvä x tai y on derivoinnin suhteen kirjaimellisesti vakio ja käsitellään derivoitaessa kuten vakiota yleensäkin.

Mitä oppilaat todella tekivät? Kuinka innokkaasti he työskentelivät?

Vastasiko työskentely ennakko-odotuksiasi? Olivatko kaikki oppilaat mukana? Tapahtuiko eriytymistä? Olitko varautunut siihen? Miten toteutui?

Oppilaat olivat kiinnostuneesti mukana aloittaessani pinnan havainnollistamisen pyyhkeellä ja nauroivatkin hiukan, mikä oli tavoitteenikin, tuoda hiukan huumoria helposti niin teoreettiseen asiaan. Asiaan keskittyminen vei lähes kaiken keskittymiskykyni enkä osaa sanoa olivatko kaikki oppilaat kunnolla mukana. Välillä innostuin selittämään liikaa ja minusta tuntuu, että tällöin ainakin osa oli omissa ajatuksissaan. Eriyttäminen mahdollistui oikeastaan vasta harjoitustehtäviä tehtäessä, jolloin oppilaat saivat edetä omaan tahtiin.

Millaisia tietoja, taitoja ja asenteita oppilaat oppivat?

Onko mahdollista erottaa ne tiedot ja taidot, jotka kehittyivät työskentelyn aikana?

Toivoisin, että oppilaille jäi mielikuva siitä että jopa lukion abikurssien asioita on mahdollista havainnollistaa hyvin yksinkertaisilla apuvälineillä kuten pyyhkeellä, t-paidoilla ja LEGO-ukoilla. Tavoitteenani on myös opettaessani luoda avoin ja kannustava oppimisilmapiiri, jossa virheet eivät leimaa oppilasta vaan ovat olennaisia oppimisen ja ymmärtämisen kannalta. Oppilaiden yksilöllinen kohtaaminen ja luottamuksen rakentaminen ovat mielestäni tärkeitä ja toivon, että onnistuin tämän myös oppilaille sanattoman viestintäni kautta välittämään.

Kuinka onnistuineita olivat valitsemasi menetelmät? Muuttaisitko niitä?

Mitä didaktisia menetelmiä käytit? Arvioi, mitä mahdollisten muiden menetelmien käyttäminen olisi vaikuttanut itse prosessiin.

Tunti oli jokseenkin perinteinen kyselevän opetuksen mallin mukainen tunti, ja tunnin lopussa oppilaat laskivat harjoitustehtäviä. Vaikkakin parannettavaa on aina, sopi lopputunnin toteutus mielestäni tuntiin. Muiden kuin kyselevän opetuksen käyttäminen veisi kyseisessä, oppilaille todennäköisesti vaikeassa asiassa huomattavasti enemmän aikaa. Lukion abivuonna viimeistään on opiskelijoiden totuttava siihen, että käydään läpi perusideat ja suuret linjat ja tämän jälkeen ymmärrys ja osaaminen lopullisesti rakentuvat itse tehtäviä ratkaisemalla ja ratkaistaessa eteen tulevia ongelmatilanteita kysellen ja lähdekirjallisuutta lukien selvittämällä. Matematiikkaa oppii tekemällä.

Kuinka sopivia olivat käyttämäsi välineet ja materiaalit? Muuttaisitko niitä?

Mitä välineitä käytin? Millaisia välineitä käyttäisin ideaalitilanteessa?

Osittaisderivaatan havainnollistamisen ideaan olin erittäin tyytyväinen siitäkin huolimatta etten aivan täysin onnistunut alkuperäistä ideaani inspiroivimmalla mahdollisella tavalla toteuttamaankaan. Tätä esimerkkiä aion käyttää myöhemminkin mikäli sille tarvetta on.

Opetustapahtuman ja oppilaiden oppimisen arviointi

1. Oppimisprosessin arviointia opettajan näkökulmasta. Miten?
2. Opettajan toiminnan arviointia. Miten?
3. Arvioivatko oppilaat toimintaansa? Miten?

Mitä aion tehdä tämän itsearvioinnin tuloksena?

Mitä vaikutusta tällä on välittömästi seuraaviin oppitunteihin, niiden suunnitteluun, toteutukseen ja arviointiin?

Aion jatkossakin käyttää pyyhettä tai vastaavaa kolmiulotteisen pinnan havainnollistamiseen. En ole mitään oppituntia valmistellut yhtä paljon kuin tätä kaksoistuntia valmistelin. Tekemäni tuntisuunnitelma toimii hyvänä muistin ja esimerkkinä tukena tulevia oppitunteja suunnitellessani ja myöhemmin työelämään siirtyessäni.

Millaista keskustelua tai yhteistyötä sinulla on ollut opiskelijatovereiden kanssa ennen/jälkeen oppitunnin?

Kaivosojan Heta oli katsomassa kyseistä tuntia ja otti myös muutamia videopätkiä digikamerallani. Heta opettaa samaa asiaa MHA:n vastaavassa ryhmässä kahden päivän päästä ja juttelimme ideoista. Heta sanoi pitäneensä pyyhe-esimerkistä.

Lisähuomioita ja kommentteja

Seven Steps to Better Presentations

Nettisivuprojekteihin liittyviä nettiartikkeleita lukiessani sattui kohdalleni myös opetukseen sopiva artikkeli:

Seven Steps to Better Presentations

Artikkelin kohderyhmänä on sinänsä enemmän luentojen pitäjät, mutta kirjoittajan esille ottamat pointit soveltuvat mielestäni hyvin myös yläkoulu- ja lukio-opetukseen.

Ohjaavan opettajan kommenteista mieleen jäänyttä

Tässä muutamia, toistaiseksi listaamattomia, LRE:n 7C:n ja 8B:n matikan tunneilla 10.-22.11.05 välillä pitämieni harjoitustuntien palautekeskusteluissa esille nousseista kommenteista/ajatuksista/ideoista:

• Tyydy oppilaan vastaukseen eläkä korjaile tai täydentele sitä jos mitenkään mahdollista.
• Kokeiden laatimisesta: jos itse pystyy tekemään aiotun kokeen tehtävät n. 5 minuutissa, on koe todennäköisesti sopiva peruskoululaisen 45 min kokeeksi.
• Suuruusluokkien arviointitehtävät ovat hyviä konseptien ymmärtämisen kannalta.
• Edelliseen viitaten, oppilaita kannattaisi jollain tavalla opettaa arvioimaan saamansa ratkaisun järkevyyttä; tässä suuruusluokkien arvioinnista on usein paljon hyötyä.
• Jätä formaalisuus peruskoulussa niin minimiin kuin mahdollista! (itselläni on tällä hetkellä hiukan taipumusta esittää asiat liian yliopistomaisesti)
• Teetä oppilailla itsearviointeja silloin tällöin, esim. kaksi kertaa kouluvuoden aikana.
• Uuden ryhmän kanssa aloitettaessa voisi kartottaa oppilaiden käsityksiä mm. kysymyksellä: "Kuinka opit (matematiikkaa) parhaiten?"
• Kotitehtäviä tekemisen tiukan valvonnan sijaan LRE itse sanoi käyttävänsä oppilasta motivoivampaa tapaa, jossa esim. kokeen opettaja keskustelee oppilaan kanssa siitä kuinka paljon hän on läksyjä tehnyt ja kuinka oppilas itse arvelee läksyjen tekemisen tai tekemättä jättämisen korreloivan koetuloksen kanssa.

Aineopintojen ensimmäisistä seitsemästä opetustunnista

Pedagogisten aineopintojen ensimmäisen opetusharjoittelun (OPEA510) ensimmäiset seitsemän harjoitustuntia on nyt pidettynä. Pidimme tunteja jo mainitun LRE:n ohjauksessa luokille 7C ja 8B. Ensin pidimme molemmille ryhmille yhden tunnin yhdessä. Tämän jälkeen pidimme jäljelle jäävät 5h itse niin, että kaveri seurasi tunteja ja avusti oppilaita kun nämä laskivat tehtäviä. Itse pidin 8B:lle kaksi tuntia ja tämän jälkeen 7C:lle kolme tuntia.

8B:n tunneista

Ekat kolme tuntia: kertausta kolmioista ja Pythagoraan lauseen intro

8B:n seitsemästä tunnista ensimmäiset kaksi käsiteltiin mm. kolmion pinta-alaa ja kolmannella tunnilla siirryttiin useamman oppitunnin ajaksi haastavaan kokonaisuuteen eli Pythagoraan lauseeseen.

Aloitin Pythagoraan lauseen käsittelyn käyttämällä hyväkseni mahdollisuutta olla tietokoneluokassa ja tein tehtävämonisteen Pythagoraan lauseen käsittelyn aloitusta varten. Kirjoitin taululle "Pythagoraan lause", kysyin muutaman kysymyksen, annoin käytännön ohjeita ja tämän jälkeen oppilaat pääsivät netin kautta omatoimisesti selvittämään mitä tuo Pythagoraan lause oikein tarkoittaa. Tehtävämonisteessa oli aiheeseen johdattelevia kysymyksiä, joihin oli tarkoitus netin kautta etsiä vastaukset. Aikaa nettityöskentelyyn oli 15 min, minkä jälkeen kävimme tehtävämonisteen kohtia läpi.

Tehtävämonisteessani huonona puolena oli monisteen alareunaan listaamani linkkivinkit. Nämä minun olisi ehdottomasti pitänyt jättää pois, sillä nyt oppilaat jumiutuivat vain linkkivinkkien ensimmäiseen linkkiin eivätkä juuri mitään muita sivuja katsoneetkaan. Oppilaat myös kopioivat asian suoraan netistä paperilleen ymmärtämättä juurikaan mitä kirjoittivat. Ehkä olisi kuitenkin ollut parempi toteuttaa tunti niin, että oppilaat olisivat esim. laskeneet suorakulmaisten sivuille piirrettyjen neliöiden pinta-alojen summia yms. ja taulukoineet niitä. Tai päässeet leikkimään esim. joillain konkreeteilla paloilla. No tunti oli sinänsä ok, että oppilaat saivat peruskäsityksen siitä mikä Pythagoraan lause on mikä oli tavoitekin.

Jälkimmäiset kolme tuntia

Seppo piti loput kolme 8B:n tuntia; tuntien aiheena oli Pythagoraan lauseen käyttö ja soveltaminen. Sovellustehtävissä oppilaiden oli aluksi vaikea osata hahmottaa suorakulmaisen kolmion kateetteja ja hypotenuusia käytännön tilanteista piirrettyihin kuviin. Osalle vaikeuksia tuotti myös kuvan piirtäminen ja laskun laskeminen pelkästään sanallisen tehtävän pohjalta.

Opetuksen tuloksista kirjoittelen varmaankin tulevana viikonloppuna enemmän, teimme nimittäin ryhmälle n. 15-20 min kestävän testin pitämiemme 6h aikana käsitellyistä asioista. Oppilaat tekevät testin huomenna 24.11.05 ja käymme hakemassa vastaukset tarkasteltaviksi huomenna iltapäivällä...totuuden hetki odottaa...

7C:n tunneista

Koko pitämämme kuuden tunnin jakson pääteemana oli geometria. Käsiteltiin mm. suorien risti- ja vieruskulmia, yhdensuuntaisuutta, samankohtaisia kulmia ja harppi-viivain-konstruktioita.

Itse pidin tunnit #4-6, joista tunneilla 4 ja 5 laitoin oppilaat kokeilumielessä istumaan neljän hengen ryhmissä. Arvoin oppilaille istumapaikat nimeämällä istumapaikat tyyliin A1, ..., A4, B1, ... ja kun oppilaat tulivat sisälle luokaan annoin heille sekoitetusta pakasta vastakappaleen pyödissä olleisiin paikkanumeron lappuihin. Idean toteutukseen sain Kaivosojan Hetalta. Neljännellä tunnilla tutkinnan aiheena oli kulmien samankohtaisuus ja viidennellä tunnilla normaalin ja keskinormaalin konstruointi harpin ja viivaimen avulla.

Neljäs tunti (18.11.05) meni jokseenkin hyvin vaikkakin loppua kohti oppilaiden keskittyminen hiukan herpaantui. Toisella tunnilla tehtävämonisteeni oli liian vaikea oppilaille seiskaluokkalaisille ja olin käyttänyt liian hienoja sanoja (esim. konstruoida) vaikka paperissa selitettiinkin mitä sana tarkoittaa. Lisäksi olin monisteen alkuun laittanut harppi-viivain-konstruktoiden tekemisen säännöt, mikä lamaannutti oppilaat eivätkä he saaneet lopputuloksena oikein mitään aikaan ja tunti oli melko tehoton. Hyvänä puolena tästä tunnista voi kuitenkin todeta, että kotitehtäviä tarkistettaessa en selittänyt asioita enää kovinkaan pitkästä mikä on ollut paha tapani, puhun ja selitän liikaa.

Viimeisellä tunnilla käytiin läpi mm. mitä harppi mittaa (etäisyyttä) ja käytin narunpätkää harppina taululle piirtäessäni. Uskoisin tämän konkretisoineen asiaa oppilaille hyvin. Uutena asiana käsiteltiin kulman puolittamista, ensin kolmioviivaimella, sitten harpilla ja viivaimella. Tunti oli tavallaan "perinteinen" kyselevän opetuksen mallin mukainen tunti, mutta oppilaat oppivat käsitellyt asiat omien havaintojeni mukaan paljon tehokkaammin ja paremmin kuin viime tunnilla. Ohjaava opettajani oli tästä samaa mieltä kanssani.

En osaa sanoa oliko vika minussa vai jossain muussa, mutta jotenkin minulle jäi näiden viimeisen kolmen tunnin pohjalta sellainen tuntu, että seiskaluokkalaiset eivät ehkä vielä henkisesti ole valmiita koettamaani yhteistoiminnalliseen ryhmätyöskentelyyn ja että opetustulokset olisivat paremmat esim. kyselevää opetusta käyttämällä niin että matemaattisia konsepteja kyselyn ja oppilaiden vastausten kanssa rakennetaan yhdessä koko luokan kanssa kerralla.

En tietenkään väitä millään tavalla olevani ekspertti koettamani yhteistoiminnallisen oppimisen muodon suhteen ja viidennen tunnin epäonnistuminen varmasti oli ainakin osittain oma vikani. Vertailukohdaksi kuitenkin Hetan ja Suvin 9.luokalle pitämät tunnit, joissa he pitivät oppilaat vastaavissa neljän kolmen hengen työryhmissä kuuden oppitunnin ajan ja kokemukset olivat Hetan kommenttien mukaan erittäin positiivisia. Ehkä 9.luokkalaiset ovat tarvittavan verran henkisesti kypsempiä kyetäkseen toimimaan ryhmässä ja puhaltamaan yhteen hiileen...en tiedä. Lukijani, kommentoi ihmeessä jos sinulla on tähän (tai mihin muuhun tahansa) asiaan sanottavaa :)

Luokan puhuttelusta ja koetehtävistä

Tulin juuri kotiin OPEA510:n ryhmäpalaverista, jossa purettiin havaintoja 2h alakoulun matematiikan oppituntien ja 2h yläkoulun/lukion muun kuin matematiikan tuntien seuraamisesta. Päällimmäisenä mieleeni jäi kaksi asiaa:

1. luokan puhuttelu sinä-muodossa ja
2. kokeessa sellaisen tehtävän tekeminen, että oppilaan tehtävänä on kirjoittaa kokeen aihepiiriin liittyvä tehtävä ja ratkaista se.

1. Luokan puhuttelusta sinä-muodossa

Aiheesta heiteltiin kommentteja sekä puolesta että vastaan. Aihe oli tullut esille erään ryhmäläisen seuraamalla lukion oppitunnilla, jolla opettaja oli tätä puhuttelutapaa käyttänyt. Itse kommentoin, että ehkä lukiossa tämä puhuttelutapa voi tuntua oppilaista liian holhoavalta...joskaan ei välttämättä. Erityisesti peruskoulun puolella olen sitä mieltä, että tämä voisi hyvinkin olla käyttökelpoinen idea...miksei lukiossakin. Pitää kysyä oppilailta itseltään kunhan olen vakituisena opettajana tai esim. ensi kevään pidemmällä harjoittelujaksolla.

RPI, palaveria vetänyt ohjaava opettaja, sanoi käyttävänsä tätä puhuttelutapaa omassa opetuksessaan. Totesi ettei hän ole varma onko tällä vaikutusta, mutta ainakin puhuttelu on tällöin henkilökohtaisempi kullekin oppilaalle. "Avaa kirja sivulle x" mieltyy oppilaan mielessä paljon helpommin juuri itselle kohdistetuksi kuin "Avatkaa kirjat sivulle x". Alakoulun opettajat käyttävät tätä puhuttelutapaa runsaasti ja alakoulun tunnilta RPI itsekin totesi ottaneensa tuon "mukaansa". Hän totesi lisäksi: "Taidan huomenna kysyä oppilailta kirjallisena mitä he asiasta ajattelevat."

2. Koetehtävä, jossa oppilas itse kirjoittaa tehtävän ja ratkaisee sen

Vaikuttaisi erittäin hyvältä ja toteuttamiskelpoiselta idealta. Voisi ensimmäisellä kerralla kokeilla esim. bonus-tehtävänä. Jos tätä harrastaisi toistuvasti esim. jokaisessa tai joka toisessa kokeessa esim. seiskaluokan alusta alkaen kuten RPI ehdotti, voisi tämä hyvinkin aktivoida oppilaita ideoimaan tehtäviä kurssin aikanakin ajatuksella: "Millaisen tehtävän kirjoittaisin tästä kokeeseen."

Arvosteluun liittyen tulisi tehtävälle tietysti laittaa ehdoksi, että sen on liityttävä koealueeseen. Oppilaat tuskin rupeaisivat koetilanteessa kirjoittamaan itselleen kovinkaan helppoa tehtävää vaan todennäköisemmin tekisivät niin vaikean kuin osaisivat. Tällöin, kun opettaja tuntee oppilaiden tason, voi hän arvioida kunkin tehtävän oppilaan osaamistason mukaan ja hyvinkin eritasoisista tehtävistä voi kaikista saada täydet pisteet kun tehtävä suhteutetaan oppilaan senhetkisiin taitoihin.

Tätä konseptia voisi laajentaa myös siten, että oppilaita pyydettäisiin ennen koetta kirjoittamaan mielestään hyvä koetehtävä. Opettaja keräisi tehtävät ja mikäli mahdollista, oikeasti valitsisi yhden oppilaiden kirjoittaman tehtävän varsinaiseksi koetehtäväksi. Tämä todennäköisesti omalta osaltaan innostaisi oppilaita tekemään parhaansa ja kehittämään taitojaan.

Matematiikan käsitteiden havainnollistaminen esi- ja alkuopetuksessa

Eilen tiistaina 15.11.05 olin kuuntelemassa Matematiikan esi- ja alkuopetuksen seminaaripäivän Jyväskylän Nenäinniemen koulun Anna-Maija Riskun pitämää esitelmää matematiikan käsitteiden havainnollistamisesta. Lähtökohtana oli unkarilaistyylinen matematiikan opetus, jota Risku on havainnoinut, tutkinut ja opetellut noin 5 vuotta.

Luennoitsija oli siis sama, jonka oppilaiden oppituntia olimme matikan opettajaksi opiskelevien 5 hengen porukalla seuraamassa viikko sitten 8.11. Nenäinniemessä. Risku ei tuolloin itse ollut paikalla, mutta kuin tilauksesta pääsimme nyt juttelemaan hetken hänen kanssaan luennon jälkeen.

Luennon materiaaleja voi tutkailla netin kautta mm. videotallenteina osoitteesta http://moniviestin.jyu.fi/sisalto/movie/esiopetus.

Muistiinpanojani esitelmästä

• Jos asioita ei käsitellä kielellisella tasolla, matematiikkaa ei puhuta auki, jää oppiminen mekaaniseksi.
• Ekaluokkalaisten kanssa käyvät läpi jokaisen luvun hyvin tarkkaan, esim. lukua 8 voi merkitä monella eri tavalla, jotka kaikki loppujenlopuksi tarkoittavat samaa asiaa: 8, 2+6, 1+1+5+1, 10-2, ...
• Tarinoiden kirjoittaminen laskuista:
  1. Luokassa on viisi oppilasta ja luokkaan tulee kolme oppilasta lisää: 5+3=8
  2. Rivillä istuu yksi mies ja seitsemän naista. Kuinka monta oppilasta yhteensä? 1+7=8
  3. Matti on 6v ja Jussi on Mattia 2v vanhempi. Kuinka vanha Jussi on? 6+2=8
• Huomaa yllä laskujen erilaisuus, aina ei ole kysymyksessä että "tulee jotain lisää" vaikka käytetäänkin plus-laskua. Oppilaat täytyy saada puhumaan laskut auki eikä vain sanomaan että "plussataan". Joskus opettajan täytyy joillekin oppilaille laittaa lähes sanat suuhun, jotta päästään alkuun mutta vaivannäkö kannattaa.
• kombinatoriikka & logiikka myös mukaan, ei vain aritmetiikkaa!
• Erittäin keskeistä on miten oppituntitilanteessa reagoidaan oppilaan väärään vastaukseen
  • esim. jatkuvasti sellaisia tehtäviä, joihin ei ole oikeaa ja väärää vastausta
  • opettaja voi tahallaan välillä tehdä virheitä ja oppilaat opetettava puuttumaan virheisiin => pitää oppilaat hereillä ja rohkaisee ajatteluun ja kriittisyyteen

Unkarilaisen matematiikan pedagogiset periaatteet (kts. Tamás Varga)

• Todellisuuteen perustuva kokemusten hankkiminen
• Abstraktion vaiheittainen eteneminen
  • käsitteiden pohjustus esim. leikkien avulla: funktio, neliöjuuri, ...
• Runsas apuvälineiden käyttö
• Laaja ja yhtenäinen matematiikan käsitteiden pohjustus
• Ikään ja kehitysvaiheeseen liittyvien erikoispiirteiden huomioiminen
• Lupa erehtyä, väitellä ja iloita!

Abstraktion vaiheet

1. todellinen tilanne
2. sama asia välineillä
3. tarkastelu kuvasta (huom! kuva on lapselle abstraktio!)
4. piirtäminen
5. matemaattinen merkintä (matematiikan kielinen merkintä)

Mittaamisesta

Itse tehdyt mitat ensin, ei heti SI-järjestelmän mitoilla. Yksiköinä esim. papuja, jätskitikkuja, vaaksa, jalka, kynä, ... . Voidaan myös tehdä esim. omat mittanauhat itse valitun yksikön, esim. papujen, mukaan ja mitata tällä mittanauhalla. Näin oppilaat oppivat että mittayksiköt ovat vain sovinnaisia tapoja mitata kun myöhemmin otetaan käyttöön varsinaiset SI-mitat.

Vertailuista

Ennen vertailuoperaattoreiden symbolista käyttöä on asiaa pohjustettava verbaalisesti: suurempi, pienempi, painavampi, kevyempi. Risku kertoi pelaavansa ekaluokkalaistensa kanssa peliä/leikkiä, jossa yksi oppilas on kettu ja loput kanoja. Kanat ovat kahdessa kanalassa ja voivat siirtyä kanalasta toiseen omatoimisesti. Kettu hyökkää aina siihen kanalaan, jossa on eniten kanoja tehden hyökätessään samalla käsillään ketun suun (vertailuoperaattori). Mikäli kanoja on molemmissa kanaloissa yhtä monta, pysyy ketun suu kiinni (kädet yhtäsuuruusmerkin muodossa ilman että yhtäsuuruusmerkistä on vielä tässä vaiheessa puhuttu mitään).

Vertailuja voidaan tehdä myös esim. pavuilla: 4 papua > 3 papua ja vertailuoperaattori tehtäisiin tikuilla "ketun suuna". Konkreettisten vaiheiden jälkeen edetään piirtämään asia kynällä ja paperilla esim. ryhminä (=joukkoina) joissa x ja y jäsentä. Tässä tulee huomata, että oppilailla on ongelmia ymmärtää jos vertailuoperaattori luetaan ääneen "suurempi kuin" tai "pienempi kuin" sen sijaan, että sanottaisiin tilanteeseen soveltuvammin esim. "enemmän kuin". Oppilas ei välttämättä tajua millä tavalla esim. neljän oppilaan ryhmä on suurempi kuin kahden oppilaan ryhmä, mutta tajuaa kyllä että neljän oppilaan ryhmässä on enemmän oppilaita kuin kahden hengen ryhmässä.

Kokonaisuuden katsomisen opettamisesta

Oppilaat tulisi opettaa katsomaan matematiikan tehtävissä ensin kokonaisuutta sen sijaan, että heti rupeaisi ratkaisemaan tehtäviä järjestyksessä. Tästä esimerkkinä seuraava:

  18 + __ > 25
  13 + 8  = __
  24 - __ < 10

Ratkaise siten, että kaikkiin tyhjiin tiloihin tulee sama luku.

Yhtäsuuruusmerkin käytöstä

                     10-5
   3+2          =    99-94
                     1+4
                     5
                     18-13

Oppilaat helposti mieltävät laskuissa, että yhtäsuuruusmerkin jälkeen on aina vastaus, mutta esim. "5 + __ = 8" ei vastaus ole yhtäsuuruusmerkin jälkeen.

Huom! yhtäsuuruusmerkki tulisi lukea esim. "on tasapainossa" (ajattele vaakaa) tai "on yhtä paljon kuin", ei vain "on".

Geometriasta

Huomaa ristiriita suomenkielisissä ilmauksissa:

• kolmio - mikä tahansa kolmikulmio
• neliö - vain tietynlainen nelikulmio

Kärkipisteet voidaan laskea ja merkitä esim. pieni täplä jokaisen kärkipisteen viereen monikulmion sisäpuolelle. Tämä konkretisoi luokittelua hieman lisää.

Esim. 2.luokkalaisten kanssa voidaan rakentaa monikulmioita esim. pilleillä ja narulla ja tämän jälkeen luokitella rakennettuja monikulmioita esim. monikulmiot => nelikulmiot => suorakulmiot => neliöt.

Testejä luokittelun avuksi:

• suorakulmioille taittotesti: mikäli voi taittaa kahteen suuntaan niin, että kulmat menee tasan => suorakulmio
• neliöille "kulmasta kulmaan" -taittotesti

Lähteitä

• Ensimmäiset kouluvuodet, Opetushallitus?
• Laskutaidon toimintapaketti 1&2, WSOY
• Pirjo Tikkanen, Norssi
• Nenäinniemen koulun matematiikkasivu
• ...netistä Tamás Varga, unkarilainen matematiikka...
• Tutkiva Opettaja (JYU)
• Matematiikkalehti Solmu

Suomalaisia matikan opetussivustoja

Ajattelin listata löytämiäni mielestäni hyödyllisiä matematiikan opetukseen liittyviä suomenkielisiä sivustoja...tässä tulee:

• openmatikka.com
  • NeitiX
  • HerraY
  • LIME - Kattilan geometriaa
  • Pythagoraan lause
  • Terminaattori
  • Mimmit Mustissa - Pituuden, pinta-alan ja tilavuuden yksiköitä
  • Suora
  • Symmetria
  • Potenssin arvoitus
  • Neiti negatiivinen ja poika positiivinen

Perusopetuksen opetussuunnitelma 2004

Perusopetuksen opetussuunnitelman verkkoversio ja liitemateriaalit

Linkkejä Pythagoraan lauseen opettamiseen

Aloitan huomenna OPEA510:n eli pedagogisten aineopintojen ekassa opetusharjoittelussa LRE:n 8.luokan ryhmän kanssa Pythagoraan lauseen käsittelyn; asia on oppilaille kokonaan uusi. Katselin sitten netistä mitä kaikkea aiheeseen liittyen löytyy, tässä linkkejä:

• Java applets for demonstrating proofs of the Pythagorean Theorem
• Generating Pythagorean Triples
• Pythagorean Explorer - interactive practising of using the Pythagorean Theorem
• MathWorld: Pythagorean Theorem
• 54 proofs of the Pythagorean Theorem
• Wikipedia: Pythagorean Theorem
• Pythagoras Tree - a very nice fractal style applet!

Suomenkielisiä linkkejä

• openmatikka.com: Pythagoraan lause
• Wikipedia.org: Pythagoraan lause

Erittäin hyviä matematiikkaa havainnollistavia Java-appletteja lähes aiheesta kuin aiheesta löytyy Manipula Math with Java -sivustolta.

Oppijan kasvamisesta ja auttamisesta itseohjautuvuuteen

Tämän päivän opettajaharjoittelun palaveerauksessa LRE:n kanssa tuli esille myös opetustyyleihin, oppijan tarpeisiin ja näiden yhteensovittamiseseen liittyvä teoreettinen malli, SSDL-malli: Staged Self Direction Learning model. Tämän ja muiden vastaavien mallien teoriapohjaan tarttisi tutustua tarkemmin, tässä lista linkeistä, jotka ensimmäisenä tulivat vastaan aiheeseen liittyen:

SSDL-malli

• Teaching Learners to be Self-Directed
• The Staged Self-Directed Learning Model
• Match and Mismatch between Learner Stages and Teacher Styles
• Applying the Staged Self-Direction Model to a Course

Lainauksena Grow'n SSDL-mallia käsittelevän artikkelin abstrakti

Based on the Situational Leadership model of Hersey and Blanchard, the Staged Self-Directed Learning Model proposes that learners advance through stages of increasing self-direction and that teachers can help or hinder that development. Good teaching matches the learner's stage of self-direction and helps the learner advance toward greater self-direction. Specific methods are proposed for teaching students at each stage, although many different teaching styles are good when appropriately applied. Several pedagogical difficulties are explained as mismatches between teacher style and learner stage, especially the mismatch between a student needing direction and a non-directive teacher. The model is applied to a course, a single class, and the overall curriculum.

Grow, Gerald O. (1991/1996). "Teaching Learners to be Self-Directed." Adult Education Quarterly, 41 (3), 125-149. Expanded version available online at: http://www.longleaf.net/ggrow

Oppimisen tasoista

Tänään OPEA510:n eli pedagogisten aineopintojen ekan opetusharjoittelun oppituntisuunnitelmapalaverissa tuli mieleeni, että olen jossain joskus kuullut teoriasta oppimisen tasoista eli siitä missä järjestyksessä oppiminen tavallaan etenee. Kysyin tästä ohjaavalta opettajaltani ja hän viittasi tutkijaan nimeltä Clark. Yritin etsiä netistä kyseisen kaverin kirjoittamaa teoriaa oppimisen tasoista, mutten oikein onnistunut löytämään mitään selkeää.

Täytyy vielä kysäistä asiasta matematiikan didaktikoltani, mutta tässä vaiheessa laitan talteen Tukholman Karolinska Institutetin Centre for Cognition, Understanding & Learning'n sivuilta löytämäni Oppivan organisaation työntekijä - kyborgi? -Powerpoint-esityksen sivulta 5 löytyvän listauksen oppimisen tasoista. (Sama esitys html-muodossa)

Eli nyt ne oppimisen tasot:

1. Tiedon lisääntyminen
2. Muistaminen, toistaminen
3. Sovellus
4. Ymmärrys
5. Asian näkeminen uudessa valossa
6. Muuttuminen ihmisenä

En ehkä ihan täysin ole samaa mieltä näistä, listan alussa pitäisi mielestäni olla "tunnistaminen" tai jotain vastaavaa. Lisäksi "Sovellus" ja "Ymmärrys" eivät välttämättä mielestäni ole aina tässä järjestyksessä, sillä mielestäni on vaikea kyetä täysipainoisesti soveltamaan tietoa esim. uuteen tilanteeseen jos ei ensin ymmärrä ilmiötä. Ehkä tässä sanalla "Sovellus" viitataankin jonkun mekaanisen taidon toistamiseen, mikä ei välttämättä edellytä ymmärrystä vaan ymmärrys kasvaa vähitellen mm. tuon toistamisen kautta. No, oli miten oli, toimii tuo listaus ainakin jonkinlaisena lähtökohtana ja apuna oppituntien vaatimustasoja suunniteltaessa. Täytyy tutkia aihetta lisää...

Matematiikan opetuksessa hyödyllisiä tietokonesovelluksia

Illalla viimeisenä juttuna oli vielä MHA:n vetämä matematiikan opettamiseen liittyvien tietokonesovellusten esittely/demo; tarkasteltiin ja kokeiltiin kahta ohjelmaa, esim. laskemiseen ja graafien piirtämiseen tarkoitettua Mathematicaa ja dynaamisten harppi-viivain-konstruktioiden tekemiseen tarkoitettua Cabri Geometry II:ta. Cabrilla yritin konstruoida mm. suoran Poincarén hyperbolisen geometrian mallissa...onnistui tavallaan, en tosin muistanut miten inversiopisteiden konstruktio ympyrän suhteen menee ja käytin ohjelman valmista toimintoa tähän :P

Geometry's Sketchpadissä on oman käyttökokemukseni mukaan joitain parempia ominaisuuksia kuten skriptien teko, jota Cabrissa ei ilmeisesti ole vaikka siinä voikin tehdä makronauhoituksia...tai ainakaan en Cabrista vielä tällaisia skriptimahdollisuuksia löytänyt. Toisaalta Cabrissa voi tallentaa konstruktionsa Java Applettina nettijulkaisemista varten ja appletissa ilmeisestikin konstruktion dynaamisuus säilyy eli käyttäjä pääsee esim. siirtelemään konstruktion pisteitä ja näkemään siirtojen muutoksen konstruktioon :)

Sovellukset listana

Jos tiedät hyvän matematiikan opettamiseen liittyvän ohjelman, joka ei vielä ole tässä listassa, kerro ihmeessä asiasta laittamalla kommenttia tähän viestiin. Listaan kelpaavat erittäin hyvin myös netissä käytettävät Java-, Flash- tai muut vastaavat sovellukset.

• Mathematica - symbolista laskemista ja mm. kolmiulotteisten graafien piirtämistä
• GeoGebra - Ilmainen itävaltalainen harppi-viivain-konstruktio-ohjelma, jota voi käyttää joko koneelle asennettuna tai suoraan netin kautta Java WebStartilla! Käynnistä GeoGebra ja pääset heti kokeilemaan!
• Cabri Geometry II - harppi-viivain-konstruktioita
• Geometry's Sketchpad - harppi-viivain-konstruktioita
• NonEuclid - (nettikäytettävä) Java appletti hyperbolisen geometrian konstruktioiden tekemiseen...appletin voi myös kopioida offline-käyttöön. Ilmainen.
• Sekä Windowsilla, Linuxilla, että MacOSX:llä pyörivä Deriven kaltainen ilmainen wxMaxima.

Unkarilaista matikan opetusta Nenäinniemen 1B-luokalla

Kurssiin OPEA510 eli pedagogisten aineopintojen ensimmäiseen opetusharjoittelujaksoon kuuluu 2h ala-asteen (2004 opetussuunnitelman mukaan "alakoulun") matematiikan oppituntien seuraamista. Kävimme tänään viiden matikan pääaineopiskelijan porukalla seuraamassa Jyväskylän Nenäinniemen koulun 1B-luokan matematiikan oppituntia. Oppitunnissa erikoista oli se, että Nenäinniemen koulussa opetetaan matematiikkaa unkarilaisia matematiikan opetuksen menetelmiä käyttäen.

Itseltä unohtunut, inspiroiva alakoulun maailma...

Seuraamamme oppitunti alkoi klo 9; ajoimme koulun pihaan n. 8:50 ja ehdimme seurata eka- ja tokaluokkalaisten puuhia välitunnin tiimellyksessä. Oli täysin päässyt unohtumaan, että sateella voi hiekkapihalle tehdä mm. ojia sadeveden kulkua ohjailemaan! Sisälle päästyämme huomasimme toisen mielenkiintoisen asian: oppilaat ottivat sisälle tullessaan ulkokengät pois jalastaan...kyllähän meilläkin ala-asteaikana niin tehtiin, mutta oli tuokin yksityiskohta aivan täysin unohtunut :P

Moi, mun nimi on Janne, mikä sun nimi on?

Välitunti loppui ja 1B:n oppilaat tulivat pihaleikeistä omaan luokkaansa (ulkokengät jäivät siististi omaan käytävällä olevaan lokeroon...koko toimitus sujui suurehkosta ihmismäärästä huolimatta lähes armeijamaisen tehokkaasti :) Menimme luokkaan ennen oppitunnin alkua ja yritin tehtä tuttavuutta oppilaiden kanssa esittelemällä itseni ja kyselemällä muutamia kysymyksiä...oppilaat olivat vähän ujoja ja yrittivät piiloutua toistensa selkien taa...vastauksia en kysymyksiini tässä vaiheessa vielä saanut eikä tuttavuuden teko vielä oikein tuntunut onnistuvan.

Yhdellä kaverilla oli jalkapallojoukkueen paita päällään ja kysyin pelaako hän jalkapalloa. Tällä kertaan sain vastauksen, myöntävän sellaisen, ja jatkoin keskustelua tyytyväisenä siitä että "jää oli murrettu" ;) Esittelin itseni ja pikkujalkapalloilija kertoi myös nimensä (mutta nimi jätetään tässä yksityisyyden suojan tähden mainitsematta...en myönnä unohtaneeni kaverin nimeä...no joo, kyllä mä veikkaan että muistan nimen oikein, mutta en nyt oo ihan satavarma ;)

Lukusauvoja ja 8-mattoja

Päästiin itse aiheeseen eli matematiikan opiskeluun. Oppilailla oli käsityötunnilla tehdyt pussukat täynnä lukusauvoja (engl. Cuisenaire rods), jotka oppilaat kävivät hakemassa pussukoiden säilytyspaikasta. Näillä lukusauvoilla voi havainnollistaa lukuisia matemaattisia käsitteitä ja laskutoimituksia ja niiden ja muiden vastaavien havainnointivälineiden (engl. manipulatives) käyttö on nykyisten konstruktivististen oppimistutkimusten mukaan erittäin hyödyllistä erityisesti alaluokilla, mutta jossain määrin myös yläkoulun matematiikan opetuksessa. Esimerkiksi unkarilaisessa matematiikan opetuksessa käytetään hyvin paljon juuri konkreetteja havainnollistamisvälineitä ja pyritään antamaan mahdollisuus oppilaille itse keksiä/oivaltaa matemaattisia yhteyksiä.

Päivän aiheena oli luku 8 ja opettaja kehotti oppilaita tekemään lukusauvoilla mahdollisimman pitkän 8-maton. Ideana oli siis etsiä lukusauvoista kahdeksan yksikköä pitkä lukusauva, laittaa sen alle kahdeksan ykkösen mittaista lukusauvaa ja tämän jälkeen yrittää keksiä mahdollisimman monta erilaista lukusauvojen kombinaatiota, joiden yhteispituus on kahdeksan. Hyvin konkreettia yhteenlaskun harjoittelua ennenkuin yhteenlaskusta on sen enempää muodollisesti puhuttukaan!

Oppilaat olivat tottuneita työskentelytapaan ja 8-matot pitenivät hyvin nopeasti. Oppilaat parhaan havaintokykyni mukaan nauttivat työskentelystä ja olivat erittäin motivoituneita; oppilaat saivat itse keksiä, kokeilla ja tehdä havaintoja omaan tahtiin sen sijaan että heille olisi syötetty tietoa. Tutkivaa oppimista vimosen päälle :)

Tunnin loppupuolella kukin oppilas sai tutustuttavakseen uuden tuttavuuden, matikkapakin, joka sisälsi monenlaisia havainnollistamisvälineitä kuten:

• klemmareita
• papuja
• arpakuutioita
• puutikkuja
• eri värisiä muovitikkuja
• muutamia leikkiautoja
• muffinivuokia (ryhmittelyä ja näin esim. tulevaa kertolaskun harjoittelua varten)
• naruja
• (naruun pujotettavia) helmiä
• ...mahdollisesti vielä jotain muuta...

Oppilaat laittoivat nimensä matikkapakkeihinsa ja tutkivat niiden sisältöä yrittäen keksiä eri tapoja esittää numero 8 matikkapakin sisällön avulla. Lopuksi opettaja kehotti oppilaita keskustelemaan vieruskaverin kanssa ja kertomaan millä eri tavoilla oli itse saanut aikaan numeron 8. Tästä syntynyt keskustelu ei tosin millään tavalla ollut oppitunnin aikana ainutkertaista, sillä koko tunnin ajan oppilaat tekivät yhteistyötä, auttoivat toisiaan ja keskustelivat ratkaisuistaan vierustoveriensa kanssa. Matematiikan kommunikatiivisen puolen tärkeys, omien ajatusten selittäminen ja perusteleminen sekä muiden esittämien ratkaisujen arviointi konkretisoituivat.

Tavoitetta...

Tällaista matematiikan opiskelun tulisi olla, oppilaat etsivät ratkaisuja annettuun tehtävään oma-aloitteisesti, keskustelevat ratkaisuistaan keskenään ja jakavat näin osaamistaan. Onko tällainen saavutettavissa yläasteen (ok, ok, yläkoulun) oppilaiden kanssa? Onpahan tavoitetta.

Oppilaiden motivoinnista: pulmatehtäviä ja taulukirjoituksia

Tänään kävin seuraamassa Norssin 7c:n matikan oppituntia, kyseistä ryhmää tulen opettamaan ensi viikolla yhteensä neljän tunnin verran. Oppitunnilta ja sen jälkeisestä keskustelusta ohjaavan (ja tuntia pitäneen) opettajani kanssa jäi mieleen seuraavia ajatuksia/ideoita:

• Oppitunnin lopuksi tunnilla taululle kirjoitetut asiat voi tietoisesti jättää taululle näkyviin, näin erityisesti silloin jos ko. luokka on pääasiassa vain matematiikkakäytössä. Tällöin seuraavan tunnin oppilaat näkevät vähän muiden (ikäluokkien) tehtäviä, mikä voi herättää keskustelua opettajan kanssa ja motivoida. Norssissa näin tehdään kuulemma säännöllisesti ja tietoisesti.
• Oppitunnit voisi joka päivä tai ainakin muutaman kerran viikossa aloittaa lyhyellä pulmatehtävällä, mikä auttaa oppilaita saamaan aivonsa "matikka-asentoon" (konstruktivismiä :) ja herättää (toivottavasti) innostusta ja kiinnostusta. Ohjaava opettajani totesi, että jossain palautekyselyssä joku oppilas oli kysellyt "Mihin pulmatehtävät jäivät?" kun opettaja oli jossain vaiheessa leikannut pulmalla aloitettujen oppituntien määrää.
• Opettajan oma innostuneisuus tai sen puute yleisesti ottaen tarttuu oppilaisiin tahtoipa opettaja sitä tai ei. Elekieli on yleensä sopusoinnussa omien ajatusteni kanssa. Jos ajattelen perjantai-iltapäivän tunnista "Vielä tämä tunti pidettävänä ja sitten riittää tältä viikolta..." huomaavat oppilaat tämän erittäin nopeasti ja "Hei ope, eikö lähettäis jo?" on valmis.

Lähteitä pulmatehtäviin

• Tieteen Kuvalehden "Aivotreeni"
• MENSA:n "Älyjumppa"
• aikakauslehdistä
• Mathematics Teacher -lehden keskiaukeamalla pulma kuukauden jokaiselle päivälle
• Antero Vipunen -kirja
• "Mikä on jonon seuraava luku" -pulmat, joita voi keksiä lennosta helposti.
  

Ajatuksia henkilökohtaisen palautteen antamisesta

Tänään olin kuuntelemassa Norssin 8B:n matikan tuntia pohjatuntina OPEA510:n opetusharjoitteluun liittyen. Tunnin aiheena oli yksinkertaisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen neliöjuuri-operaatiota käyttämällä. Tunnin jälkeen juteltiin opettajan kanssa; tässä keskustelussa esille tulleita ajatuksia:

Yleistä

Älä toista antamaasi selitystä mikäli ei ole aivan pakko, sillä jos oppilaat tottuvat siihen että selitän aina useamman kerran, eivät opi kuuntelemaan kunnolla ja keskittyneesti. Uudelleen selittämisen sijasta voi vaikka kysellä oppilailta kysymyksiä tai kehottaa tekemään tehtäviä.

Puhu oppilaiden kanssa esim. kouluvuoden alkupuolella siitä mitä he pitävät matematiikan arvostelussa ja osaamisessa tärkeänä. Näitä näkemyksiä ja käsityksiä voi pyytää oppilailta myös kirjallisesti, jolloin saadaan myös hiljaisempien oppilaiden ajatuksia esille.

Pikkukokeista / pistokkaista

Itse heitin ajatuksen "pistokkaista", jotka eivät kuitenkaan vaikuttaisi arvosteluun vaan toimisivat vain palautekanavana. Näitä voisi pitää esim. yhden per 5-10 oppituntia. Ohjaava opettaja heitti ideana, että nämä pistokkaat voisivat vaikuttaa nolla tai positiivisesti, muttei negatiivisesti. Tämä todennäköisesti lisäisi oppilaiden motivaatiota. Oppilaita tulisi myös kehottaa tuottamaan paperille edes jotain, sillä "kaikkea mitä kirjoitat voidaan käyttää hyödyksesi".

Kotitehtävien tarkistuksesta

Tämän idean kuulin joltain opettajalta jossain vaiheessa: Oppilailla voisi olla kaksi vihkoa, yksi oppituntityöskentelyä, toinen läksyjä varten. Opettaja voi tällöin oppilaita suuremmin häiritsemättä tarkastaa esim. jonkun tietyn tehtävän kaikilta oppilailta ja antaa oppilaille yksilöllisen palautteen.

Oppitunnin pitänyt opettaja kertoi, ettei hän pidä kovin tiukkaa kontrollia kotitehtävien tekemisestä vaan pyrkii motivoimaan oppilaita enemmän "palkinnoilla" kuin uhkauksilla, esim: "Jos vain katselee kun toiset heittelevät koripalloa muttei itse koskaan yritä, kehittyvätkö omat koripallotaidot tällöin?"

Omia kommenttejani oppitunnista

Oppitunnilla oli erittäin hyvä työilmapiiri ja työskentelymotivaatio. Oppilaat tekivät töitä oma-aloitteisesti, kyselivät kysymyksiä avoimesti ja luokkailmapiiri oli oppimiseen kannustava. Opettaja totesi tunnin jälkeen tehneensä ko. ryhmän kanssa töitä vuoden verran kannustaen heitä avoimesti keskustelemaan, kyselemään ja kyseenalaistamaan. Hän sanoo oppilaille että heti kun joku asia on epäselvä, täytyy kysyä. Kiertelin itse myös luokassa tehtäviä tehtäessä ja autoin varsinaista opettajaa kysymyksiin vastaamisessa. Luokan tämänpäiväistä työskentelyä oli ilo seurata.

Innovatiivinen opetustuokio alkuluvuista

Kohderyhmä

Otollisin kohderyhmä on ehkä 12-13 vuotiaat eli 6.-7.luokkalaiset, mutta tämä riippuu hyvin paljon ryhmästä.

Yleistä

Eilen eli tiistaina 25.10.05 Kaartisen pitämässä OPEA210:n matikan pääainedemossa mulla oli tehtävänä pitää n. 30min opetustuokio alkuluvuista. Opetustuokion oli tarkotus olla mahdollisimman vähän "perinteinen" opettaja-syöttää-tietoa-oppilaalle -oppitunti ja niinpä ajattelin yrittää soveltaa yhteistoiminnallista oppimista niin paljon kuin mahdollista ja pyrkiä järjestämään oppilaille mahdollisuus itse keksiä mitä tai millaisia alkuluvut ovat.

Opetustuokion taustatiedot

• Aihe: alkuluvut
• Käsitteet: alkuluku, yhdistetty luku, tekijä, vaihdantalaki (ab = ba, kun a ja b reaalilukuja)
• Prosessit: ongelmanratkaisu
• Tavoitteet:
  • Tiedolliset: Oppilas tietää millaisia lukuja alkuluvut ja toisaalta yhdistetyt luvut ovat.
  • Taidolliset: Oppilas osaa tutkia kumpaan edellä mainituista kategorioista annettu kokonaisluku kuuluu.
• Välineet: liitutaulu, piirtoheitin, palikoita (vähintään 10, mielellään 20 per työpari)

Tunnin kulku

Tunnin aluksi keräsin ensin oppilaiden (eli tässä tapauksessa opiskelukavereille, jotka olivat "koekaniineja") ajatuksia sanan "alkuluku" merkityksestä ja tämän jälkeen kerroin heille oppitunnin tavoitteet, eli mitä tämän oppitunnin jälkeen olisi tarkoitus osata:

1. osaat määritellä käsitteen alkuluku.
2. pystyt tunnistamaan alkulukuja kokonaislukujen joukosta.
3. osaat etsiä kaikki alkuluvut väliltä 2-100 ja perustella valintasi.

Annoin oppilaille noin 20 kuution muotoista muovipalikkaa kullekin ja kehoitin tutkimaan itsekseen tai pareittain minkä kokoiset palikkaryhmät väliltä 1-20 voidaan jakaa keskenään yhtä suuriin ryhmiin siten, että:

1. kussakin ryhmässä on vähintään 2 palikkaa
2. ryhmiä on vähintään 2 kappaletta

Lisäksi kehoitin oppilaita kirjaamaan saamansa tulokset paperille.

Nämä ehdot ovat yhtäpitävät (ekvivalentit) sen kanssa, että annettu positiivinen kokonaisluku on yhdistetty luku eli että jos i) ja ii) pätevät, niin luku on yhdistetty luku ja toisaalta jos luku on yhdistetty luku niin i) ja ii) pätevät. Yhdistetty luku on positiivinen kokonaisluku, jolla on positiivinen jakaja joka ei ole luku 1 tai käsiteltävä luku itse. (kts. http://en.wikipedia.org/wiki/Composite_number)

Määritelmän mukaan kaikki ykköstä suuremmat kokonaisluvut ovat joko yhdistettyjä lukuja tai alkulukuja. Kun siis etsimme lukujen 1-20 joukosta yhdistetyt luvut (eli ne, jotka voidaan jakaa keskenään yhtä suuriin ryhmiin ehtojen i ja ii mukaan), ovat jäljellejäävät luvut alkulukuja. Eli toisin sanoen, jos annettua lukua (tai palikkamäärää) ei voida jakaa keskenään yhtä suuriin ryhmiin i ja ii mukaan, on kyseessä alkuluku. Esim. 6 = 2x3 = 3x2 = 1x6 = 6x1, mutta 5 = 1x5 = 5x1 ja näin luku 5 ei täytä i ja ii.

Tämän jälkeen kehoitin oppilaita yksin tai pareittain kirjoittamaan määritelmän sanalle "alkuluku" parhaan ymmärryksensä mukaan.

Seuraavaksi selitin kalvolla lyhyesti Eratostheneen seulan idean (kts. http://en.wikipedia.org/wiki/Eratosthenes'_Sieve) minkä jälkeen jaoin oppilaille harjoitustehtäväpaperin. Tarkoituksena oli etsiä kaikki alkuluvut väliltä 2-100 käyttäen apuna Eratostheneen seulaa. Tehtäväpaperissa oli seulan käytön jälkeen tehtävänä kirjoittaa käyttöohjeet seulan käytölle niin, että oppilaan kirjoittaman ohjeistuksen avulla asiaan perehtymätönkin voisi käyttää seulaa ja tietäisi mitä sillä tehdään.

Viimeiseksi oppilaat saivat vielä tarkentaa/parannella aiemmin kirjoittamiaan määritelmiä sanalle "alkuluku". Ennen tunnin lopetusta kävin vielä läpi alkuluvun määritelmän ja kertasin oppitunnin tavoitteet eli mitä tältä tunnilta oli tarkoitus jäädä mieleen, samat asiat joilla oppitunnin aloitin.

Tuntemuksia

Oppilaat (= opiskelukaverit) taputtivat spontaanisti opetustuokioni lopuksi kun sanoin aivan viimeiseksi "Oppitunti päättyy tähän." Tuntui tietysti hyvältä saada spontaani taputus, tuntui siltä että opetustuokio meni hyvin ja olin tyytyväinen aikaansaannokseeni.

Parantamisen varaa on aina ja tuokion aikana mm. yhdessä kohdassa takkuilin itse yhdistetyn luvun määritelmän kanssa hiukan. Tarvitsen myös harjoitusta siinä kuinka käsitellä se kun oppilaat rakentelevat antamistani kuutioista kaikenlaisia rakennelmia eivätkä tee sitä mitä pitäisi. Kehoitin oppilaita ystävällisesti palaamaan työhönsä ja homma toimi melko hyvin. Kaksi tyttöä rakensi palikoista mm. hevosen, jonka pää ja jalat liikkuivat. Tämä oli ehkä hyvä niin, että oppitunti jäi paremmin mieleen ja sitä kautta ehkä matematiikkakin alkaa vähitellen tuntua mielenkiintoiselta. Oppilaat eivät häirinneet muita ja tekivät kuitenkin pyydetyt asiat vaikka välillä leikkivätkin palikoilla.

Yhteenvetona olen opetustuokion onnistumiseen tyytyväinen.